Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 2 )

Пусть А и В имеют одинаковый порядок mxn, тогда верны следующие свойства рассмотренных выше операции:

для "k, k1, k2 R. (k1 + k2)A = k1A + k2A; k(A + B) = kA + kB.

Теперь мы можем ввести операцию, обратную для сложения матриц.

Пусть A = (aij)m,n, B = (bij)m,n и С = (сij)m,n, тогда A = C – B = C + (-1)B. Например, если

то C – B =

=

Таким образом, если A = (aij)m, n, B = (bij)m, n Þ A – B = С(сij)m, n, где cij = aij – bij, т. е. из элементов матрицы А вычитаем соответствующие элементы матрицы В.

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Переходим к более сложной операции над матрицами – к умножению матриц.

Пусть A = (aij)m,n, B = (bij)m,n , т. е. A имеет порядок mxn, B – (nxp),подчеркиваем, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, а числа m и p могут быть произвольными, тогда под произведением A × B = C = (сij)m,n будем понимать матрицу С = (сij)m,n, где , i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, p, (1)

Таким образом, чтобы получить сij надо элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В (элементы i-й строки А подчеркнуты одной чертой, j-го столбца В - двумя чертами). Иначе говоря, i-ю строку мысленно надо повернуть на 900 по часовой стрелке и представить тем самым её в виде столбца (см. рисунок), соответствующие элементы этих столбцов

~

перемножить и полученные произведения сложить.

Если число столбцов А равно числу строк В, то длина строки А равна высоте столбца В и формула (1) дает возможность вычислять cij для любых i и j, (j = 1, 2, …, p)

Здесь полезны следующие схемы:

n p p

m × n = m

i × = i

j j

Пользуясь формулой (1), можно найти любой элемент матрицы С = (сij)m,n

c11 = a11b11 + a12b21 + … + a1nbn1

c12 = a11b12 + a12b22 + … + a1nbn2

…………………………………..

c1p = a11b1p + a12b2p + … + a1nbnp

…………………………………..

cm1 = am1b11 + am2b21 + … + amnbn1

cm2 = am1b12 + am2b22 + … + amnbn2

…………………………………………

cmp = am1b1p + am2b2p + … + amnbnp

Рассмотрим примеры.

1) A = , B = , произведение AB oпределено,

AB = (1 × 2 + (-2) × 0 + 3(-1)) = (-1) - получили матрицу первого порядка.

Произведение BA тоже определено:

= =

AB ¹ BA

2)  A = , B =

Матрицу А можно умножить на матрицу В, т. к. число столбцов А равно числу строк В.

A × B = С(сij)3,4 =

c11 = 1 × 1 + 1(-1) + (-3) × 2 = –6

c12 = 1 × 0 + 1 × 2 + (-3) × 1 = –1

c13 = 1 × 2 + 1× 1 + (-3) (-1) = 6

c14 = 1 × 1 + 1× 3 + (-3) 0 = 4

c21 = 2 × 1 + (-2)(-1) + 1 × 2 = 6

c22 = 2 × 0 + (-2)2 + 1 × 1 = –3

c23 = 2 × 2 + (-2)1 +1 (-1) = 1

c24 = 2 × 1 + (-2)3 + 1 × 0 = –4

c31 = 0 × 1 + 1(-1) + (-1) × 2 = –3

c32 = 0 × 0 + 1× 2 + (-1) × 1 = 1

c33 = 0 × 2 + 1 × 1 + (-1)(-1) = 2

c34 = 0 × 1 + 1× 3 + (-1) × 0 =

Получим матрицу

Таким образом A × B = C, но B × A не существует, т. к. число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.

Однако, если А и В – квадратные матрицы одного порядка, то определены обе матрцы: АВ и ВА.

Умножение матриц подчиняется ассоциативному закону: (АВ) × С = А(В × С), т. е. можно вначале найти АВ = D и затем вычислить (AB)C = DC, но можно сначала найти BC = M, а потом умножить A × M = A(BC), результат будет один и тот же.

Однако, АВ может и не равняться ВА, т. е. умножение матриц некоммутативная операция. Действительно, рассмотрим

т. е

Таким образом, в общем случае (оба произведения существуют для квадратных матриц одного порядка), но в частности могут встретиться такие пары А и В, что AB = BA, такие матрицы называются перестановочными. Легко показать, что если A = n – единичная матрица, то AE = EA = A, т. е. единичная матрица перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка.

Рассмотрим E3 и A = 3

тогда

AE = C =

c11 = a11 × 1 + a12 × 0 + a13 × 0 = a11

c12 = a11 × 0 + a12 × 1 + a13 × 0 = a12

c13 = a11 × 0 + a12× 0 + a13 × 1 = a13

c21 = a21 × 1 + a22× 0 + a23 × 0 = a21

c22 = a21 × 0 + a22 × 1 + a23 × 0 = a22

c23 = a21 × 0 + a22 × 0 + a23 × 1 = a23

c31 = a31 × 1 + a32 × 0 + a33 × 0 = a31

c32 = a31 × 0 + a32 × 1 + a33 × 0 = a32

c33 = a31 × 0 + a32 × 0 + a33 × 1 = a33

Аналогично можно показать, что EA = A, т. е. AE = EA = A, таким образом это свойство единичной матрицы оправдывает её название.

Возникает вопрос, почему умножение матриц вводится таким “сложным” путем, есть ли этому объяснение. Попытаемся ответить на этот вопрос.

Рассмотрим так называемое линейное преобразование плоскости x1ox2 на плоскость y1oy2

x2 y2

0 x1 0 y1

Оно задатся системой двух линейных уравнении:

(2)

Система (2) определяется матрицей

Можно сказать, что переменные (x1, x2) с помощью матрицы преобразуются в

(y1, y2).

Рассмотрим наряду с преобразованием (2) преобразование (3) плоскости y1oy2

на плоскость z1oz2

(3)

Преобразование (3) переводит (y1, y2) в (z1, z2), матрицей (3) является

Найдем матрицу C преобразования плоскости x1ox2 на плоскость z1oz2.

(4)

z1 = b11(a11x1 + a12x2) + b12(a21x1 + a22x2) = (b11a11 + b12a21)x1 + (b11a12 + b12a22)x2