Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 14 )

Пример. Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид

x2+y2=R2

В полярной системе координат с полюсом в центре окружности уравнение имеет вид r=R

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

Теорема Всякое уравнение первой степени

Ax+By+C=0 (A2+B2¹0) (1)

представляет собой уравнение некоторой прямой на плоскости xOy (общее уравнение прямой).

Прямая, заданная уравнением (1) ортогональна вектору n={A, B}. Этот вектор называется нормальным вектором прямой (рис.21)

 

Y

Ax+By+C=0

n={A, B} O X

рис.21

Два линейных уравнения (1) представляют собой одну и ту же прямую тогда и только тогда, когда их левые части отличаются только множителем, т. е. когда они имеют вид Ax+By+C=0, aAx+aBy+aC=0, если a¹0.

Рассмотрим частные случаи общего уравнения прямой

1.С=0, уравнение Ax+By=0 определяет прямую, проходящую через начало координат (поскольку х=о, у=о удовлетворяет этому уравнению)

2. В=0, уравнение Ax+C=0 определяет прямую, параллельную оси ОY (поскольку нормальный вектор n={A,0} ортогонален оси ОY)

3. А=0, By+C=0 - прямая, параллельная оси ОX.

4. В=0, С=0, уравнение Ах=0 определяет ось ОY.

5. А=0, С=0, уравнение Ву=0 определяет ось ОX.

Если в уравнении (1) ABC¹0, то записав его в виде ((x/(-C/A))+(y/(-C/B)))=1 и положив a=(-C/A), b=(-C/B) получим уравнение прямой в «отрезках» (x/a)+(y/b)=1

Геометрический смысл чисел a и b понятен из рис.22

Y

b

O a X рис.22

КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором прямой.

Найдем уравнение прямой, проходящей через данную точку

M0 (x0,y0) и имеющий заданный направляющий вектор q={l, m}.

Точка М (x, y) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы ={x-x0,y-y0} и q коллинеарны, т. е. тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны

(2)

Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой.

Для того, чтобы написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M0(x0,y0) и M1(x1,y1), к качестве направляющего вектора прямой берут вектор q= ={x1-x0,y1-y0}.

(3)

(3) - уравнение прямой проходящей через две заданные точки.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Рассмотрим прямую, не параллельную оси OX. Предположим, что рассматриваемая прямая пересекает ось OX в точке А (рис.23) Возьмем на оси OX произвольную точку М, лежащую правее точке А, а на рассматриваемой прямой произвольную точку N, лежащую в верхней полуплоскости. Угол j=NAM назовем углом наклона прямой к оси OX.

Y

N

A j О

X

M

рис.23

Если прямая параллельна оси OX или совпадает с ней угол наклона этой прямой считается равным нулю.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой к оси OX. Обозначим буквой k угловой коэффициент прямой. По определению k=tgj. Заметим, что для прямой параллельной оси OY угловой коэффициент не существует. Выведем уравнение прямой проходящей через заданную точку M0(x0,y0) и с заданным угловым коэффициентом.

Рассмотрим прямую, не параллельную осям координат (рис.24)

Y

 

y M

j

y0 D

j

O x0 x X

рис.24

Из рисунка видно, что tgj=MD/M0D, MD=y-y0, MK=x-x0.

Получаем k=(y-y0)/(x-x0)

Тогда y=y0+k(x-x0) (4)

  - уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) с заданным угловым коэффициентом.

Если в (4) обозначить через b постоянную b=y0-kx0, то уравнение (4) примет вид

y=kx+b (5)

Уравнение (5) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

3 Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

а) Пусть две прямые заданны общими уравнениями: A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0

Тогда угол между прямыми определяется углом между нормальными векторами n1={A1,B1} и n2={A2,B2} и соответственно равен

 

В этом случае условие параллельности этих прямых эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2, т. е. имеет вид

Условие перпендикулярности выражается равенством n1n2=0, или

б) Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:

, .

Направляющими векторами этих прямых служат векторы q1={l1,m1},q2={l2,m2}, то по аналогии со случаем а) имеем:

1) угол j между прямыми:

2) условие параллельности: l1/l2=m1/m2

3) условие перпендикулярности: l1l2+m1m2=0

в) Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом y=k1x+b1, y=k2x+b2

В этом случае:

1) угол между прямыми: tgj=(k2-k1)/(1+k1k2);

2) условие перпендикулярности: k1k2=-1;

3) условие параллельности: k1=k2.

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ

Рассмотрим прямую, заданную общим уравнением Ax+By+C=0 и некоторую точку M0(x0,y0). Под расстоянием от точки M0 до прямой понимается длина перпендикуляра d=M0N, опущенного из точки M0 на прямую (рис.25)

Y

M0

N

X

O

рис.25

Уравнение перпендикуляра M0N можно записать в виде

B(x-x0)-A(y-y0)=0. Так как точка N(x1,y1) лежит на этом перпендикуляре имеем B(x1-x0)-A(y1-y0)=0 и следовательно (x1-x0)/A=(y1-y0)/B=t

Поэтому

Точка N(x1,y1) лежит на прямой Ax+By+C=0 и x1=x0+At, y1=y0+Bt, тогда получаем Ax1+By1+C=Ax0+By0+C+A2t+B2t=0. Следовательно

t=-(Ax0+By0+C)/(A2+B2)

Окончательно получаем:

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. Окружность.

Выведем уравнение окружности с центром в точке M0(x0,y0) и радиса R. (рис.26)

 

Y

M(x, y)

y0 M0

O x0 X

рис.26

Для произвольной точки M(x, y) окружности выполнено равенство M0M=R

Вспоминая формулу расстояния между двумя точками, имеем

Возводя обе части равенства в квадрат, получаем уравнение окружности радиуса R с центром в точке M0 :

(x-x0)2+(y-y0)2=R2

ЭЛЛИПС

Эллипс - это линия, образованная точками, у которых сумма расстояния до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Обозначим фокусы эллипса F1 и F2, а расстояние между ними 2с. Примем за ось абсцисс прямую, проходящую через фокусы, начало координат возьмем в середине отрезка F1F2. Тогда координаты точек F1 и F2 будут соответственно (-c,0) и (c,0). Обозначим сумму расстояний точек эллипса от фокусов через 2а. По определению эллипса имеем: MF1+MF2=2a

Каноническое уравнение эллипса в выбранной системе координат с данными обозначениями имеет вид:

(x2/a2)+(y2/b2)=1,

Здесь b2=a2-c2 (c<a)

Исследуя уравнение эллипса, можно сделать следующее заключение относительно формы эллипса.

1) Симметрия эллипса.

Так как уравнение эллипса содержит только квадраты текущих координат, то если точка (x, y) находится на эллипсе, то и точки (±х, ±у). Это означает, что эллипс имеет две оси симметрии, совпадающие с осями координат к центру симметрии (центр эллипса), совпадающий с началом координат.

Ось симметрии, на которой находятся фокусы эллипса, называется

фокальной осью.

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Эти вершины имеют координаты A(-a,0), B(0,b), C(a,0), D(0,-b).

Отрезок АС называется большой осью эллипса (т. к. b<a)

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника |x|£a, |y|£b.

Действительно, из уравнений эллипса следует, что x2/a2|£1, y2/b2£1.

Y

B

A O C X

D

рис.27

ГИПЕРБОЛА

Гипербола - это линия, образованная точками, для которых абсолютная величина разности расстояний, до двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим эту постоянную через 2а, расстояние между фокусами 2с. Систему координат выберем так же, как и в случаи эллипса.

Пусть М(x, y) - произвольная точка гиперболы (рис. 28).