Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 16 )

  Найти скалярные произведения векторов 3-2 и 5-6, если , и угол между векторами и равен .

Решение.

  При каком значении m векторы и перпендикулярны

Решение. Находим скалярное произведение этих векторов ; т. к..,то =0. Отсюда , т. е. m=1.

  Вычислить площадь треугольника с вершинами A(2;2;2),B(4;0;3) и C(0;1;0).

Решение. Находим векторы .

Находим векторное произведение на .

Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то

  Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы векторы + и -

были коллинеарны.

Решение. Найдем векторное произведение векторов + и -. .

Векторы (ненулевые) коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно 0. Так как [,] = [,] = 0, то 2[,] = 0. Поэтому векторы и должны быть коллинеарны.

  Показать, что вектора компланарны.

Решение. Находим смешанное произведение векторов. .

Так как =0, то векторы компланарны

  Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(0;0;1) B(2;3;5) C(6;2;3) D(3;7;2).

Решение. Найдем векторы совпадающие с ребрами пирамиды и выходящими из точки А:.

Находим смешанное произведение векторов .

Так как объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах , то .

  1)Найти полярные координаты точки . 2) Найти прямоугольные координаты точки .

Предполагается, что полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс.

Решение.

Так как точка А лежит в первой четверти то .

Итак .

2)

.

Итак.

  Уравнение прямой задано в виде . Написать: 1) общее уравнение этой прямой. 2) уравнение с угловым коэффициентом. 3) уравнение в отрезках.

Решение.

Разрешив уравнение относительно х, получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом . Здесь.

Раскрывая скобки и упрощая получаем общее уравнение прямой .Здесь.

Перенесем в общем уравнении прямой свободный член уравнения и разделим обе части на , имеем . Здесь .

  Выяснить, какие из точек лежат на прямой 2x+3y-13=0

Решение. Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Имеем: , . Поэтому точка M2 лежит на прямой, а точки M1 и M3 на прямой не лежат.

  Дана прямая х+2у+1=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0(2;1).1) параллельно данной прямой; 2) перпендикулярно данной прямой

Решение.

1)Уравнение прямой, параллельной данной имеет вид х+2у+С=0. Так как прямая проходит через точку M0, то ,C=-4. Окончательно получаем x+2y-4=0.

2)Уравнение прямой, перпендикулярной данной имеет вид –2X+Y+C=0. Так как прямая проходит через точкуM0, то ,C=3. Окончательно получаем –2x+y+3=0.

  Даны вершины треугольника A(0;1); B(6;5); C(12;-1). Найти длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.

Решение. Найдем уравнение стороны АВ или , т. е. 4x-6y+6=0. Пользуясь формулой расстояния от точки до прямой имеем

15. Определить координаты центра и радиус окружности x2+y2-8x+6y=0.

Решение. Сгруппировав члены уравнения, получим (x2-8x)+(y2+6y)=0. Дополняя выражения стоящие в скобках до полных квадратов имеем (x2-8x=16)+(y2+6y+9)-16-9=(x-4)2+(y+3)2-25=0, (x-4)2+(y+3)2=25. Таким образом центр окружности находится в точке (4;-3), а радиус окружности равен 5

16.Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки и .