Учебно-методический комплекс по дисциплине: «Линейная алгебра» (стр. 7 )

ФОРМУЛА КРАМЕРА

Остановимся подробнее на одном частном случае системы (9), когда m = n

(11)

Систему (11) принято называть квадратной, ей соответствует матричное уравнение

(12)

где ,

Для системы (11)Û(12) верна теорема Крамера (швейц. Математик, 1704-1752)

Теорема. Если , то система (11) имеет единственное решение при любом , это решение вычисляется по формулам (формулы Крамера)

, где получатся из D заменой в нем i–го столбца столбцом из свободных членов, т. е.

вектор заменяется вектором

Доказательство. Пусть detA = D ¹ 0 Þ существует A-1, умножая слева (12) на A-1, получаем:

A-1(A × ) = A-1; (A-1A) = A-1; A-1A = E Þ

E= A-1; = A-1, т. к. E =

Последнее запишем в развернутом виде

= × =

Имеем равенство двух столбцевых матриц соответствующие их элементы равны, приравняем их i–ые элементы:

xi = (A1i b1 + A2ib2 + … + Anibn) (13)

Теперь разложим определитель D по i– му столбцу:

det A = D = a1iA1i + a2iA2i + … + aniAni (14)

Очевидно, выражение в скобках в правой части (13) получается из (14) заменой i–го столбца в D вектора столбцом из свободных членов (вектором ).

Таким образом, A1i b1 + A2i b2 + … + Ani bn = Di и, следовательно (13) перепишется:

xi = , (i = 1, 2, …, n).

Например,

,

и т. д.

Легко видеть, что решение найденное по правилу Крамера, единственное Þ если det A ¹ 0, то система (11) совместная (определенная).

Замечание 1. В предыдущих параграфах мы рассматривали столбцевые и строчные матрицы. Очевидно, такие специальные матрицы мы можем рассматривать (интерпретировать, толковать) и как n – мерные вектора.

Замечание 2. Теорема, устанавливающая правило Крамера, применима только к квадратным системам (11) с det A ¹ 0.

Перейдем теперь к исследованию общих систем линейных уравнении типа (9). Вначале познакомимся с критерием совместности систем линейных уравнении, возьмем его без доказательства.

Теорема. (Кронекера-Капелли).

Система линейных уравнении (9) совместна когда ранг матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы, т. е. r (A) = r( ).

Этот критерии позволяет установить совместность или несовместность системы без предварительного её решения.

Глава V. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим однородную систему уравнений

(15)

или

A , (16)

Отметим, что система (16), следовательно и (15), совместна, ибо она имеет нулевое (так называемое тривиальное) решение:

A , где .

Говорят, что множество решении системы (15) не пусто (оно содержит вектор ). Следующие важные свойства относятся только к однородным системам.

Свойство 1. Если вектор

- решение системы (15), а - некоторое число, то вектор тоже решение системы (15).

Действительно подставим вектор в матричное уравнение (16) и воспользуемся тем, что числовой множитель можно выносить при умножении матриц: А( ) = × = , A , т. к. вектор – решение (16).

Таким образом, если мы нашли набор – решение х1, х2, …, хп, то умножив его на

произвольное число, снова получим решение системы.

Свойство 2. Если вектора

и - два решения однородной системы, то их сумма, вектор – - тоже решение системы.

Убедимся, что это так, подстановкой вектора в (16):

А= А( + ) = А + А= + = .

Таким образом, решения можно складывать и умножать на числа, при этом

получаем снова решения системы. Можно сказать, что однородная система уравнений имеет «линейное пространство решений».

Переходим к обсуждению вопроса о том, как найти все решения однородной система. Применим для этого метод Гаусса.

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений состоит из прямого и обратного хода.

Прямым ходом приведем заданную систему к ступенчатому виду. Рассмотрим соответствующую ступенчатую систему. С одной стороны, она эквивалентна исходной, а с другой, как будет показано ниже, - легко поддается исследованию и решению. Решение системы находится обратным ходом метода Гаусса.

Проиллюстрируем сказанное на примере системы

Очевидно, что все преобразования над системой сводятся к соответствующим преобразованиям над матрицей системы.

Прямой ход метода Гаусса – приведение матрицы системы к ступенчатому виду:

А =

Матрица В ступенчатая, и первый шаг алгоритма Гаусса закончился. Вернемся теперь к той системе уравнений, которая соответствует матрице В:

(17)

Мы отбросили последнее уравнение, все коэффициенты которого равны нулю. Заметим, что угловые элементы матрицы В являются коэффициентами при х1, х2, х3 в системе (17). Коэффициенты же при х4 и х5 не являются угловыми. Переходим ко второму этапу метода Гаусса – отысканию решения нашей системы. Заметим, что число переменных нашей системы п = 5, а независимых уравнений осталось только