Основы оптико-электронного приборостроения (стр. 7 )

Значение интеграла в этой формуле равно

Величины Т и λmах для ряда часто используемых в расчетах классов звезд приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Поверхностные температуры Т и длины волн для максимума излучения ряда звезд

Спектральный класс звезды	Т, К	λmax, мкм
В 0	28000	0,103
В 5	15500	0,187
А 0	9900	0,293
А 5	8500	0,341
F 0	7400	0,392
F 5	6600	0,441
G 0	6000	0,484
G 5	5500	0,528
К 0	4900	0,592
К 5	4100	0,708
М 0	3500	0,829
М 5	2800	1,037

Другой распространенной в астрофизике единицей является абсолютная звездная величина М, которая соответствует освещенности, создаваемой звездой, находящейся на некотором фиксированном расстоянии l. Это расстояние равно 10 пк (парсекам). Согласно закону квадратов расстояний абсолютная звездная величина М является, по сути дела, эквивалентом силы света Iv. Если прологарифмировать выражение для значения l=10 пк=3,086·1017м, то с учетом (2.5) и (2.6), где Ev0= 1 лк и m0 = -14m, можно получить формулу перехода от абсолютной звездной величины небесного источника излучения к его силе света:

или

Например, вычисленная по этой формуле сила света Iv Солнца, для которого М = 4,84, составит 3,07·1027 кд.

Силу света звезды, выраженную в долях силы света Солнца, принято называть в астрономии светимостью L (следует отличать эту величину от приведенной в табл. 2.1 светимости М). Полагая светимость Солнца L равной единице, после применения закона Погсона для звезды с абсолютной звездной величиной М получим

2.5.  Законы теплового излучения

Рассмотрим кратко основные законы излучения, которые необходимо знать при расчете ОЭП.

Закон Кирхгофа: в точке поверхности теплового излучателя при любой температуре и любой длине волны спектральный коэффициент направленного излучения для заданного направления равен спектральному коэффициенту поглощения для противоположно направленного неполяризованного излучения. Иначе, чем больше тело поглощает энергии, тем больше оно ее излучает, т. е.

где аl – спектральный коэффициент поглощения, Мelчт – спектральная плотность энергетической светимости идеального излучателя - черного тела, которым называется тепловой излучатель, имеющий при заданной температуре для всех длин волн максимально возможную спектральную плотность энергетической светимости. Черное тело полностью поглощает все падающие на него излучения независимо от длины волны, поляризации и направления падения.

В соответствии с законом сохранения энергии для любого тела

где rl и tl – коэффициенты отражения и пропускания соответственно. Поэтому для непрозрачных тел с tl = 0 коэффициент аl=1-rl, т. е. по закону Кирхгофа тела с хорошей отражательной способностью являются плохими излучателями.

Закон Стефана-Больцмана: энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры, т. е.

, (2.7)

где s= 5,66971×10-8 Вт×м-2×K -4 – постоянная Стефана-Больцмана.

Для любого излучателя Меl=elTMelчт, где elT – спектральный коэффициент излучения данного тела.

Для серого тела

Закон Планка описывает распределение энергии черного тела по спектру длин волн:

(2.8)

где C1=3,7415×10-16 Вт×м2, С2=1,43879×10-2 м×К.

При lТ<3000 мкм×К для практических вычислений формулу (2.8) можно представить в виде

(2.9)

Закон Планка позволяет рассчитать энергетическую светимость черного тела МDl, а следовательно, и поток его излучения, приходящийся на заданный или выбранный спектральный диапазон Dl=l2-l1. Для этого можно проинтегрировать выражение (2.8) в пределах l1...l2.

Иногда удобно вместо такого интегрирования разбить диапазон 0…ln на i участков и воспользоваться приближенной формулой:

где , li – средняя длина волны в i-ом участке.

Из формулы закона Планка можно получить выражение для закона Стефана-Больцмана. Действительно, если проинтегрировать (2.8) в пределах 0..., то получим (2.7), т. е.

Если задаться целью определить длину волны излучения, соответствующую максимуму кривой Мel=f(l), т. е. найти экстремум функции Мel, то получим так называемый закон Голицына-Вина:

lmax = 2898/T (2.10)

Здесь lmax берется в микрометрах, а Т – в Кельвинах.

На практике часто закон Голицына-Вина используют в следующем виде:

lmax = 3000/T.

Закон Голицына-Вина указывает, что с увеличением температуры излучателя максимум излучения сдвигается влево по спектру длин волн l, поэтому он называется также законом смещения.

Интегрируя выражение для Мel в пределах 0... lmax, получим

т. е. в коротковолновой части спектра черное тело излучает одну четверть всей энергии, а ее основная доля приходится на более длинные волны.

Для некоторых практических применений важно учитывать, что 50% полного излучения (площади кривой Планка) содержится в диапазоне 0...l1/2, где l1/2=4110/Т.

Очень часто чувствительность приемников излучения зависит в большей степени от скорости прихода квантов излучения, чем от значения энергии излучения. Поэтому можно привести выражение для числа квантов излучения (фотонов), испускаемых тепловым излучателем в единицу времени и приходящихся на единичный спектральный интервал внутри полусферического телесного угла.

Это выражение легко получается из (2.8) делением его на величину, определяющую энергию одного фотона, т. е. на e=hc0/l=1,9863×10-19/l Вт×с ,

(2.11)

Поскольку мгновенная скорость излучения фотонов определяется многими случайными процессами, целесообразно оценить их влияние, приводящее к флуктуациям числа Nl, спектром шума jф, который является зависимостью от частоты среднего квадратического отклонения мощности или числа фотонов от их средних значений. Рассматривая мощность излучения Fe как флуктуирующую величину, можно получить выражение для jф в следующем виде:

jф = 8AksT, (2.12)

где A – площадь излучателя; k=1,3806×-23 Дж×K-1; s=5,6697×10-8 Вт×м-2×K -4.

Для спектра шума, описывающего флуктуации числа фотонов N,

jN = 4,17×1011AT3 . (2.13)

Для источников – серых тел правые части (2.12) и (2.13) следует умножить на коэффициент излучения.

Имеются специальные таблицы функций Планка, с помощью которых можно найти полную энергию, излучаемую в данном спектральном диапазоне, число квантов в излучении черного тела и ряд других данных [11].

Формулу Планка можно представить графически в виде так называемых кривых Планка (рис. 2.3), что чаще на практике более удобно. Рассматривая кривые для каких-либо температур, можно заметить, что чем больше температура, тем выше расположена кривая, т. е. на любом участке спектра полный излучатель с более высокой температурой дает больше энергии излучения, чем полный излучатель с меньшей температурой.

Рис.2.3. Кривые Планка: T1>T2>T 3 Рис.2.4. Единая изотермическая кривая