Физические основы механики (стр. 11 )

Рассмотрим систему из трех взаимодействующих частиц, на которые действуют также и внешние силы. Обозначим для краткости:

Рис. 3.2 - Силы, действующие на материальные точки системы

Запишем для каждой частицы:

Сложим уравнения:

.

По третьему закону Ньютона каждая скобка равна нулю, следовательно: . Обобщая результат на систему N частиц, можно записать: , или .

Производная импульса системы материальных точек по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на материальные точки системы.

3.2. Закон сохранения импульса

Введем еще одно понятие. Система материальных точек называется замкнутой, если на частицы системы не действуют внешние силы (или их действие пренебрежимо мало). Из предыдущего параграфа следует, что импульс системы может изменяться только под действием внешних сил. Пусть система материальных точек замкнута: . При этом:

Импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным, т. е. не изменяется со временем: . Это закон сохранения импульса. При этом импульсы отдельных частиц системы могут изменяться со временем. Пусть в некоторый момент времени для замкнутой системы частиц: . В другой момент времени : . Из закона сохранения импульса следует, что: =. Спроецируем обе части равенства, например, на ось : .

3.3. Сохранение импульса в незамкнутой системе

Пусть на частицы системы действуют внешние силы, так что в любой момент: Рассмотрим два случая.

Геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю: . При этом . Импульс системы остается постоянным.

Сумма проекций внешних сил на некоторое направление равна нулю: . Запишем для системы частиц: . Спроецируем на оси декартовой системы координат:

Перепишем: Из первого уравнения запишем: Проекция импульса системы частиц на ось остается постоянной.

3.4. Центр масс системы

Центром масс (центром инерции) системы называется точка С, радиус-вектор которой равен: . Здесь, - масса и радиус-вектор i-й материальной точки (частицы).

Запишем: , где - масса системы частиц. Далее:

Продифференцируем по времени: . Следовательно, , где - скорость центра масс; - скорость и импульс i-той точки системы; - импульс системы материальных точек. Запишем: . Импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Продифференцируем по времени обе части: . Известно, что Следовательно, . Это уравнение движения центра масс системы.

3.5. Система центра масс (Ц-система)

Система отсчета, жестко связанная с центром масс системы материальных точек, называется системой центра масс или Ц-системой. Запишем в некоторой системе отсчета: Перейдем в Ц-систему. Очевидно, что в этой системе центр масс покоится и, следовательно, . Тогда . В системе центра масс импульс системы материальных точек всегда равен нулю.

3.6. Движение тела с переменной массой

Пусть некоторое тело массой , движущееся со скоростью в течение времени получает приращение массы , например, за счет того, что часть этого тела отделяется от него со скоростью относительно тела. В этом случае скорость тела получает приращение и становится равной , масса тела становится равной , причем .

Рис. 3.3 - Реактивное движение

Скорость отделяемого элемента относительно неподвижной системы отсчета равна . Найдем приращение импульса системы за время :

Величиной можно пренебречь по равнению с остальными слагаемыми, следовательно: . Разделим на обе части:

Запишем: Второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл силы и называется реактивной силой: . Величина , если масса присоединяется и , если масса отделяется. Пусть масса отделяется, тогда , и направлена против вектора , как показано на рисунке.

Рис. 3.4 - Реактивная сила

Глава 4. Закон сохранения энергии

4.1. Работа и мощность

Частица перемещается из точки 1 в точку 2 по некоторой траектории. В каждой точке на нее действует сила . Рассмотрим элементарное перемещение , в пределах которого силу можно считать постоянной.