Физические основы механики (стр. 21 )

Найдем промежуток времени между этими же событиями в системе :

Обозначим, - собственное время, отсчитанное по часам, покоящимся относительно движущейся системы отсчета . Запишем, Промежутки времени между двумя событиями оказываются разными в различных системах отсчета.

Сокращение длины

В системе вдоль оси неподвижно расположен стержень. Обозначим: -координаты концов стержня в системе , где - собственная длина стержня, измеренная в системе отсчета, в которой стержень покоится. Найдем длину стержня в системе . Для этого нужно определить координаты его концов в один и тот же момент времени в системе . Тогда, Запишем:

Рис.9.4 - Сокращение длины

Длина стержня , измеренная в системе отсчета, в которой стержень движется, меньше, чем собственная длина , измеренная в системе отсчета, где стержень покоится.

9.5. Преобразование скорости

Вычислим дифференциал и и разделим их друг на друга:

Разделим на числитель и знаменатель: Очевидно, что Вычислив дифференциалы и поделив их на , можно получить формулы: Рассмотрим случай, когда . Получим: Это формулы преобразования скорости в классической механике. Пусть частица движется параллельно осям, тогда: Пусть Тогда получим выражение для скорости:

9.6. Релятивистский импульс

Рассмотрим абсолютно неупругое столкновение двух тел одинаковой массы m. Пусть в системе , движущейся относительно системы со скоростью , скорости тел равны по величине и направлены навстречу друг другу вдоль оси .

Рис.9.5 - Столкновение двух тел

Тогда запишем, Найдем импульс тела после неупругого столкновения из закона сохранения импульса: Здесь, - скорость тела после неупругого столкновения. Очевидно, что Рассмотрим этот же процесс в системе отсчета . Запишем, Здесь, - скорости тел в системе до столкновения. Обозначим скорость тела после столкновения . Запишем, Найдем в системе отсчета импульс системы тел до столкновения и после столкновения:

Итак, если система отсчета движется относительно системы отсчета со скоростью , то импульс системы до и после столкновения оказывается различным, т. е. не сохраняется.

Анализ показывает, что полученный результат может быть обусловлен следующими причинами:

1. выражение для импульса , справедливое в классической механике, оказывается неверным в релятивистской механике;

2. не выполняется закон сохранения импульса.

Расчеты показывают, что можно изменить выражение, определяющее импульс тела таким образом, чтобы закон сохранения импульса выполнялся всегда и в любой системе отсчета.

Для этого нужно представить импульс в виде Здесь - масса и скорость тела. Эта формула называется релятивистским импульсом. Очевидно, что если , то получим: .

9.7. Основное уравнение релятивистской динамики

Основное уравнение классической динамики – это второй закон Ньютона в виде уравнения движения В релятивистской динамике следует использовать релятивистское выражение для импульса, тогда: Запишем: Здесь, где - ускорение. Видно, что в общем случае вектор ускорения частицы не совпадает по направлению с вектором силы , действующей на частицу.

9.8. Кинетическая энергия

Запишем: Перемножим равенства: Очевидно, что где – элементарная работа силы на элементарном перемещении . Левую выражения часть можно преобразовать к виду: Запишем: Здесь, – приращение кинетической энергии частицы. Интегрирование дает: Из смысла кинетической энергии можно записать условие: Следовательно, получим: В итоге, имеем окончательное выражение для кинетической энергии: Рассмотрим случай, когда .

Используем известное соотношение: Получим: Приходим к классическому выражению для кинетической энергии.

9.9. Полная энергия и энергия покоя

В классической механике известен закон сохранения полной механической энергии. В релятивистской динамике для замкнутой системы сохраняется следующая величина:

где - энергия покоя тела, - кинетическая энергия тела, - полная энергия тела. Закон сохранения полной энергии имеет вид:

Запишем для полной энергии:

Запишем для энергии покоя: Величина есть общая внутренняя энергия тела, которая никак не связана с движением тела как целого. Выражение для энергии покоя называется законом взаимосвязи массы и энергии. Изменение энергии покоя (т. е. внутренней энергии тела) должно приводить к изменению его массы: При обычных процессах изменение массы незаметно в силу малости .

9.10. Связь между энергией и импульсом

Запишем очевидные соотношения и преобразуем их:

Продолжим, Получим формулу, связывающую полную энергию и релятивистский импульс:

9.11. Инвариантные величины (инварианты)

Инвариантными (инвариантами) называются величины, имеющие одно и то же значение в различных системах отсчета. В кинематике инвариантной величиной является скорость света в вакууме: Существует также еще одна величина, значение которой одинаково в разных системах отсчета. Обозначим, - координаты и время соответствующие двум событиям в системе , - координаты и время этих же событий в системе . Расчет дает, что для координат и моментов времени всегда выполняется равенство:

Величина слева и справа называется интервалом и обозначается . Интервал является инвариантной величиной: Инвариантом также является масса тела: Полная энергия и импульс не являются инвариантами, но между ними есть соотношение, которое, в свою очередь, является инвариантом: следовательно: