Физические основы механики (стр. 13 )

4.6. Потенциальная энергия частицы в поле консервативных сил

Пусть частица находится в поле сил, которые являются консервативными в некоторой точке с координатами . Выберем некоторую точку О с координатами (), которую назовем нулевым положением. Пусть частица переходит из точки в нулевое положение по произвольному пути. При этом силы поля совершают работу .

Рис. 4.9 - Материальная точка в поле консервативных сил

Работа, совершаемая консервативными силами поля над частицей, при переходе частицы из некоторой точки в нулевое положение, называется потенциальной энергией частицы в этой точке в поле консервативных сил: , Дж. Очевидно, что значение зависит от выбора нулевого положения – точки О. Пусть частица из некоторой точки 1 переходит в нулевое положение О двумя путями: по пути 1-О и по пути 1-2-О, где 2 – некоторая точка. При этом частица находится в поле консервативных сил. Если силы, действующие на частицу, консервативные, то:. Из определения потенциальной энергии: . Здесь: - потенциальная энергия частицы в 1-й и 2-й точках. Далее запишем:

Рис. 4.10 - Перемещение материальной точки в поле консервативных сил

Работа консервативной силы, при перемещении частицы из произвольного начального положения 1 в произвольное конечное положение 2 по произвольному пути равна разности потенциальной энергии частицы в начальном и конечном положениях или убыли потенциальной энергии частицы: . Если частица совершает элементарное перемещение, то .

4.7. Вычисление потенциальной энергии

Потенциальная энергия частицы в однородном поле силы тяжести

Работа, совершаемая однородной силой тяжести над частицей массой m равна: . Видно, что работа не зависит от пути перемещения. Кроме того, если путь замкнутый, то: . Таким образом, можно сделать вывод о том, что однородная сила тяжести является консервативной силой. Пусть частица находится в точке 1 с координатой . Пусть нулевое положение О находится на поверхности Земли, так что . По определению: .

Потенциальная энергия материальной точки массой m, находящейся на высоте h в однородном поле тяжести Земли равна: .

Рассмотрим тело массой m. Разобьем тело на элементарные массы – материальные точки. Обозначим: - вертикальная координата i-ой материальной точки, отсчитанная от некоторой точки О.

Потенциальной энергией системы материальных точек в поле консервативных сил называется величина, равная алгебраической сумме потенциальных энергий материальных точек системы в данном поле консервативных сил: . Запишем:

. Здесь: . Центр масс системы определяется выражениями:

Следовательно, потенциальная энергия тела равна: . Здесь - вертикальная координата центра масс системы.

Потенциальная энергия системы частиц в однородном поле силы тяжести равна произведению массы системы на ускорение свободного падения и на вертикальную координату центра масс системы.

Потенциальная энергия деформированной пружины

Работа, совершаемая упругой силой равна: . Работа определяется только начальным и конечным положениями свободного конца пружины и не зависит от «пути перехода» из 1 в 2., следовательно, упругая сила есть консервативная сила. Пусть состояние 2 определяется условием: . В этом состоянии пружина не имеет деформации. Будем считать такое состояние нулевым положением.

Обозначим деформацию пружины , . Тогда потенциальная энергия деформированной пружины равна: .

Потенциальная энергия гравитационного поля

Пусть частица m находится в гравитационном поле, создаваемом другой частицей М. При элементарном перемещении частицы m силы поля совершает работу dA, равную убыли потенциальной энергии частицы в этом поле: .

.

Пусть выполняется условие: . Такое выражение называется условием нормировки потенциальной энергии. Запишем: . .

4.8. Потенциальная энергия и консервативная сила

Пусть частица, на которую действует консервативная сила , совершает элементарное перемещение . Элементарная работа силы равна:

. Пусть частица перемещается так, что: .

Тогда: Выражение называется частной производной функции U(x, y, z) по переменной x , при этом . Аналогично можно получить для проекций и : Умножим на орты и сложим:

Величину в скобках называют градиентом скалярной функции U и обозначают так: . Полученное выражение для градиента справедливо в декартовой системе координат.

Сила, действующая со стороны консервативного поля на частицу в некоторой точке поля, равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке поля.

4.9. Кинетическая энергия частицы

Запишем для частицы второй закон Ньютона: . За время частица совершает перемещение: . Умножим выражения друг на друга: , . Запишем: . Возьмем дифференциал от обеих частей: