Физические основы механики (стр. 14 )

.

Запишем для левой части последнего равенства: . Далее: . В левой части имеем приращение некоторой функции, которая называется кинетической энергией частицы: По определению: . В правой части уравнения – элементарная работа силы: . Итак: .

Элементарная работа силы, действующей на частицу, равна элементарному приращению кинетической энергии частицы: .

Конечное перемещение частицы 1-2 можно представить как сумму бесконечно малых перемещений, на каждом из которых: . Просуммируем выражения по всем N перемещениям: . При получим: . Интеграл слева равен:. Интеграл справа в общем случае зависит от формы пути, поэтому: . В итоге: .

Работа силы, действующей на частицу на некотором перемещении, равна приращению кинетической энергии частицы на этом перемещении: .

4.10. Полная механическая энергия частицы

Пусть частица находится в некотором поле консервативных сил. Обозначим силу, действующую на нее со стороны этого поля . Пусть также на частицу действуют силы, не принадлежащие указанному силовому полю. Силы, не принадлежащие рассматриваемому в данной задаче полю консервативных сил, называются сторонними силами . Сторонние силы могут быть как консервативными, так и не консервативными. Таким образом, в общем случае, сила, действующая на частицу, равна: . Рассмотрим перемещение частицы из точки 1 в точку 2. Вычислим работу:

. С другой стороны: Кроме того:

Сумма кинетической энергии частицы и ее потенциальной энергии называется полной механической энергией частицы: . Следовательно, .

Приращение полной механической энергии частицы на некотором перемещении равно работе сторонних сил, действующих на частицу на этом перемещении: .

В случае элементарного перемещения: .

4.11. Закон сохранения полной механической энергии частицы

Пусть на частицу действуют только консервативные силы: Можем записать:

Если на частицу действуют только консервативные силы, то полная механическая энергия частицы остается постоянной или сохраняется:

4.12. Закон сохранения полной механической энергии системы частиц

Для системы N частиц можно получить выражение:

Здесь - кинетическая и потенциальная энергия системы частиц.

Полная механическая энергия системы частиц, на которые действуют только консервативные силы остается постоянной, т. е. сохраняется:

4.13. Соударение двух тел

Соударением (столкновением) тел называется такое взаимодействие при котором время взаимодействия мало, а силы взаимодействия велики. При этом систему тел, участвующих в соударении можно считать замкнутой.

Абсолютно упругий удар

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором кинетическая энергия системы не изменяется. Рассмотрим удар двух однородных шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, соединяющей их центры. Обозначим массы шаров , скорости шаров до удара , а скорости после удара соответственно .

Рис. 4.11 - Упругий удар двух тел

Запишем законы сохранения импульса и энергии:

Преобразуем второе уравнение:

. Из первого уравнения получим: . Из соображения симметрии следует, что скорости шаров будут направлены вдоль прямой, соединяющей центры шаров, следовательно: . Окончательно можно получить результат:

Для численных расчетов нужно спроецировать выражения на ось , вдоль которой движутся шары.

Рассмотрим нормальное соударение шара с неподвижной массивной стенкой. Рассматриваем стенку как шар бесконечно большого радиуса и массы.

Запишем:

Рис. 4.12 - Упругий удар тела о стенку

Шар отражается о стенки, движется в противоположном направлении с той же по величине скоростью: Стенка остается неподвижной.

Абсолютно неупругий удар

Абсолютно неупругим ударом называется столкновение тел, при котором оси соединяются вместе и движутся как одно тело или покоятся.

Запишем закон сохранения импульса: . Найдем скорость тела после неупругого удара: Найдем кинетическую энергию системы до удара и после удара:

Рис. 4.13 - Неупругий удар двух тел

Вычислим разность кинетической энергии системы до удара и после удара:

Обозначим: . Очевидно, что .

Кинетическая энергия системы в результате неупругого удара уменьшается. Она частично переходит в т. н. внутреннюю энергию или тепло. Величина Q называется количеством теплоты, которое выделяется при неупругом ударе.

Глава 5. Закон сохранения момента импульса

5.1. Момент силы

Пусть положение материальной точки относительно некоторой точки О определяется радиусом-вектором и на частицу действует сила .

Моментом силы относительно точки О называется векторная величина: . Модуль вектора равен: . Здесь - угол между радиус-вектором и силой. Опустим из точки О перпендикуляр на продолжение вектора силы , обозначим его длину. Очевидно: Величина называется плечом силы . Направление вектора определяется правилом векторного произведения: вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .