Физические основы механики (стр. 19 )

б)

Рис. 8.8 (а, б) - Вывод уравнения Бернулли

Обозначим, – масса жидкости между сечениями – масса жидкости между сечениями – масса жидкости между сечениями Найдем приращение полной механической энергии системы:

Поскольку сечения взяты произвольно, то Это уравнение Бернулли. Для горизонтальной трубки тока, очевидно: Здесь, – гидростатическое давление, – статическое давление, сумма определяет полное давление.

8.7. Формула Торричелли

В вертикальный сосуд налита жидкость так, что ее поверхность сообщается с атмосферой, площадь поверхности жидкости обозначим . В боковой стенке сосуда имеется отверстие площадью , причем . Выделим трубку тока с сечениями . Запишем условие неразрывности струи: Обозначим Давление вблизи равно атмосферному . Запишем уравнение Бернулли:

Обозначим Тогда, Полученное выражение определяет скорость истечения жидкости из отверстия и называется формулой Торричелли.

Рис. 8.9 - Вывод формулы Торричелли

8.8. Ламинарное течение

Существует два типа течения жидкости. Течение, при котором жидкость можно разбить на слои, не перемешивающиеся друг с другом, называется ламинарным. Течение, при котором происходит перемешивание слоев, называется турбулентным.

Характер течения жидкости определяется безразмерной величиной, называемой числом Рейнольдса где ­­- плотность жидкости, - скорость течения жидкости, - характерный размер, - вязкость жидкости, . Существует критическое значение числа Рейнольдса , значение которого определяет характер течения.

Течение остается ламинарным, если Течение становится турбулентным, если Для воды критическое значение числа Рейнольдса равно:

8.9. Внутреннее трение

Рассмотрим ламинарное течение жидкости и выделим два слоя с разными скороcтями , имеющие общую границу.

Более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный слой. В то же время медленный слой тормозит движение более быстрого слоя. Сила, с которой более медленный слой действует на более быстрый слой, замедляя его движение, называется силой внутреннего трения между слоями жидкости .

Рис. 8.10 - Течение слоев жидкости

Опыт дает, что величина силы внутреннего трения равна Здесь, - площадь соприкосновения слоев, - градиент модуля скорости в направлении оси Z, перпендикулярной направлению скорости движения слоев, - вязкость жидкости.

8.10. Течение жидкости в трубе круглого сечения

Пусть жидкость течет в трубе круглого сечения радиуса R с постоянной в каждой точке скоростью, т. е. течение жидкости является стационарным.

Выделим вдоль оси цилиндрический объем радиусом и длиной . На него действует сила давления и сила внутреннего трения Если течение стационарное, то Пусть начало оси находится на оси трубы. Из опыта известно, что по мере удаления от оси скорость течения уменьшается. Это означает, что градиент скорости вдоль оси отрицательный, следовательно, Проинтегрируем:

Кроме того, известно также, что у стенки трубы скорость равна нулю: Подставим граничное условие в выражение для скорости:

Рис. 8.11 - Течение жидкости в трубе

В результате получим формулу: Обозначим скорость на оси трубы: Тогда,

8.11. Объем жидкости, протекающей через сечение трубы

Найдем объем жидкости, протекающей через сечение трубы за некоторое время. Разобьем сечение трубы на кольца радиусом и толщиной .

Рис. 8.12 - Сечение трубы

Найдем площадь такого кольца: Объем жидкости, протекающей через за время , равен: Объем жидкости, протекающей через все сечения трубы за время dt, равен:

Обозначим, - объем жидкости, протекающий через все сечение трубы в единицу времени, тогда: Это выражение называется формулой Пуазейля.

8.12. Движение тела в жидкости

При движении тела в жидкости на него действуют силы, равнодействующую которых обозначим .

Рис. 8.13 - Движение тела в жидкости

Эту силу можно разложить на составляющую, направленную против скорости движения и вторую силу, перпендикулярную скорости . Сила называется лобовым сопротивлением, а сила - подъемной силой. Лобовое сопротивление складывается из сопротивления трения и сопротивления давления. При малых значениях числа Рейнольдса лобовое сопротивление обусловлено в основном силой трения, которая определяется формулой Стокса: Эта формула точно справедлива для шарика радиусом .