Физические основы механики (стр. 12 )

Элементарной работой силы на элементарном перемещении называется скалярная величина: . Здесь - угол между векторами силы и элементарного перемещения. Если просуммировать работы на всех элементарных перемещениях, то получим работу силы на конечном перемещении 1-2: .

Рис. 4.1 - Перемещение материальной точки

Пусть на частицу одновременно действует N сил, причем по принципу суперпозиции можем записать: . Запишем для работы силы выражение: . Работа, совершаемая на некотором перемещении несколькими одновременно действующими силами, равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой на этом перемещении: . Мощностью называется скалярная величина, равная: . Мощность численно равна работе, совершаемой в 1 с, и характеризует интенсивность совершения работы. Запишем: , где -скорость, с которой движется точка приложения силы. Далее получим:

4.2. Вычисление работы

Работа силы тяжести

Пусть частица массой перемещается из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории так, что в каждой точке траектории на частицу действует сила тяжести . Вычислим работу силы тяжести. Запишем:

Итак, получим:.

Рис. 4.2 - Вычисление работы силы тяжести

Работа упругой силы

Рассмотрим сжатие цилиндрической пружины и вычислим работу упругой силы при изменении деформации пружины от до .

Рис. 4.3 - Вычисление работы упругой силы

Запишем: . Далее:

В итоге получим:

Работа силы трения

Запишем: .

Рис. 4.4 - Вычисление работы силы трения

Очевидно, что Поэтому: . Следовательно, . Работа силы трения отрицательна. Пусть выполняется условие: . Тогда: .

4.3. Поле сил (силовое поле)

Область пространства, в каждой точке которого на частицу действует сила, называется полем сил или силовым полем. Поле сил называется стационарным, если сила, действующая на частицу в каждой точке поля, не зависит от времени. Пусть частица перемещается в стационарном силовом поле из начальной точки 1 в конечную точку 2. При этом сила поля совершает над частицей работу: . В общем случае величина работы зависит как от положения начальной и конечной точек 1 и 2, так и от траектории движения (или формы пути).

4.4. Поле центральных сил

Силы, зависящие только от расстояния между взаимодействующими частицами и направленные вдоль прямой, проходящей через эти частицы называются центральными силами.

Пусть материальная точка движется в поле сил, создаваемом некоторой частицей, находящейся в точке О пространства. Положение движущейся частицы задается радиус-вектором , проведенным из точки О. Пусть сила, действующая, на данную материальную точку определяется законом: . Здесь: – функция, зависящая от расстояния материальной токи до точки О, - орт радиус-вектора. Сила удовлетворяет определению центральной силы и является центральной силой. Точка О называется силовым центром.

Пусть материальная точка(частица) перемещается в поле центральных сил из начальной точки 1 с радиус-вектором в конечную точку 2 с радиус-вектором . Обозначим: -расстояние точки 1 от точки О, -расстояние точки 2 от точки О.

Рис. 4.5 - Материальная точка в поле центральных сил

Вычислим работу центральной силы при перемещении частицы: . Запишем:

Далее: , .

Величина зависит только от вида функции , от значений и и не зависит от пути перемещения частицы. Рассмотрим две частицы массами m и М.

Рис. 4.6 - Гравитационная сила

Проведем радиус-вектор из частицы М в частицу m. На частицу m действуют гравитационная сила притяжения: , . Гравитационная сила является центральной силой. Очевидно, что сила тяжести также будет центральной. Кроме того, к центральным силам относится также упругая сила, если она описывается законом Гука.

4.5. Поле консервативных сил

Если силы, действующие на частицу, зависят только от координат частицы и работа этих сил при перемещении частицы из произвольного начального положения в произвольное конечное положение определяется только начальным и конечным положениями частицы и не зависит от пути перемещения частиц, то такие силы называются консервативными.

Рассмотрим перемещение частицы из 1 в 2 по нескольким путям a, b, с. При этом на частицу действует консервативная сила .

Рис. 4.7 - Перемещение материальной точки по различным траекториям

Поскольку сила консервативная, то: . Пусть частица перемещается по замкнутому пути 1-a-2-b-1.

Рис. 4.8 - Перемещение материальной точки по замкнутой траектории

Запишем: . Так как сила зависит только от положения частицы в пространстве, то легко показать, что: . Следовательно,

Работа консервативных сил на произвольном замкнутом пути в поле консервативных сил равна нулю. Это условие является необходимым и достаточным, поэтому можно утверждать, что если работа сил поля на произвольном замкнутом пути равна нулю, то силы поля являются консервативными. Запишем для центральных сил: . Центральные силы являются консервативными.