Физические основы механики (стр. 4 )

Рис.1.1 - Путь, перемещение материальной точки

Точку 1 назовем начальным положением частицы, а точку 2 конечным положением частицы. Вектор, проведенный из начального положения частицы в ее конечное положение называется вектором перемещения или перемещением: , м. Очевидно, что Из рисунка видно, что Выражение в правой части имеет смысл разности конечного значения и начального значения радиуса-вектора. Такая разность называется приращением радиус-вектора. Вектор перемещения частицы за некоторый промежуток времени равен приращению радиус-вектора частицы за этот промежуток времени.

1.3. Элементарный путь, элементарное перемещение

Будем неограниченно уменьшать интервал времени движения . При интервал времени называется бесконечно малым или элементарным и обозначается так: . За бесконечно малый интервал времени частица проходит бесконечно малый путь и совершает бесконечно малое перемещение , которое равно:

Рис.1.2 - Элементарный путь, элементарное перемещение материальной точки

Отметим следующие важные свойства. В пределе, при , вектор сливается с участком траектории , причем вектор направлен по касательной к траектории и модуль вектора равен длине элементарного пути :

1.4. Скорость

Средней путевой скоростью за промежуток времени называется скалярная величина, равная отношению длины пути, пройденной частицей за некоторый промежуток времени к длительности промежутка:

Средней скоростью за промежуток времени называется вектор, равный отношению вектора перемещения за некоторый промежуток времени к длительности этого промежутка :

Рис.1.3 - Средняя скорость

Запишем: Будем неограниченно уменьшать ∆t, устремляя к нулю. Это записывают так: Полученное выражение есть определение производной радиус-вектора по времени: В правой части получаем производную радиус-вектора по времени. В то же время с определенной точностью правую часть можно рассматривать как отношение элементарного перемещения к элементарному интервалу времени , за который произошло перемещение.

Мгновенной скоростью частицы в данный момент времени называется вектор, равный первой производной радиус-вектора частицы по времени:

Рис.1.4 - Мгновенная скорость

Поскольку направлен по касательной к траектории, то и вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории. Найдем модуль мгновенной скорости:

Модуль мгновенной скорости равен отношению элементарного пути, пройденного частицей за элементарный промежуток времени к длительности этого промежутка или первой производной пути по времени:

1.5. Мгновенная скорость в декартовой системе координат

Запишем:

Здесь: - проекции вектора на оси координат, - составляющие вектора вдоль осей координат. Найдем модуль V:

1.6. Ускорение

Ускорением называется вектор, равный первой производной мгновенной скорости по времени: .

Величину можно рассматривать и как отношение элементарного приращения мгновенной скорости за время к величине элементарного промежутка времени .

В декартовых координатах:

Здесь: - проекции вектора на оси координат, - составляющие вектора вдоль осей координат.

1.7. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение

Пусть за элементарный промежуток времени мгновенная скорость получает приращение: . Направление указано на рисунке. Направление вектора совпадает с направлением . Вектор ускорения направлен всегда во «внутреннюю область», охватываемую участком траектории. Проведем единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором . Этот вектор обозначим . Перпендикулярно внутрь траектории построим единичный вектор . Вектор называется ортом касательной к траектории, а вектор ­­­ - ортом нормали. Разложим вектор ускорения на составляющие вдоль касательной и нормали.

Рис.1.5 - Приращение скорости

Очевидно, что . Вектор называется тангенциальным ускорением, вектор называется нормальным ускорением, вектор называется полным ускорением.

Запишем: , ,