Физические основы механики (стр. 16 )

Скалярная величина, равная сумме произведений масс частиц системы на квадрат расстояний этих частиц до некоторой оси называется моментом инерции системы относительно этой оси: , . Итак: . Если ось вращения неподвижна в пространстве, то: . Продифференцируем по t. . Известно, что: . Следовательно, . Обозначим: . Окончательно имеем: . Индексы часто опускают, тогда: .

Момент внешних сил относительно некоторой оси равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на проекцию углового ускорения вращения тела на ту же ось: . Это основное уравнение динамики вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

6.2. Вычисление моментов инерции

По определению: . Вычислим момент инерции тонкого однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню.

а)

.

Рассмотрим еще несколько случаев.

Ось проходит рез середину стержня перпендикулярно ему. Длина стержня l,масса m. В этом случае: .

б)

Рис. 6.2 (а, б) - Вычисление момента инерции стержня

Ось z проходит через центр диска радиуса R и массой m перпендикулярно плоскости диска. Момент инерции диска равен: . Отметим, что момент инерции не зависит от толщины диска b.

Рис. 6.3 - Вычисление момента инерции диска

Ось z проходит через центр шара радиуса R и массой m. Момент инерции шара равен:

.

Рис. 6.4 - Вычисление момента инерции шара

6.3. Теорема Штейнера

Пусть О1 и А1 две параллельные друг другу оси, расстояние между которыми равно a. Возьмем элементарную массу тела и из точек О и А проведем в нее радиус-векторы .

Рис. 6.5 - Вывод теоремы Штейнера

Введем вектор , такой что: Умножим на и проинтегрируем: . Очевидно, что

Далее запишем: . Пусть ось О проходит через центр масс, тогда получим:

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями: .

Рис. 6.6 - Применение теоремы Штейнера

6.4. Кинетическая энергия вращательного движения

Кинетическая энергия i-й частицы твердого тела равна:

. Кинетическая энергия всего тела равна . Следовательно, .

6.5. Работа внешних сил при вращении твердого тела

Запишем известные соотношения:

Следовательно: . Здесь М – момент сил (относительно оси вращения), действующих на твердое тело, – элементарный угол поворота тела. Работа внешних сил при повороте на конечный угол равна: , Дж. Работа, совершаемая в единицу времени (мощность), равна:

6.6. Условия равновесия твердого тела

Движение твердого тела в общем случае определяется двумя уравнениями:

, . Тело будет находиться в состоянии покоя, если нет причин, приводящих к возникновению поступательного и вращательного движения. Такими причинами являются внешние силы и моменты внешних сил.

Условия равновесия твердого тела имеют вид:

Глава 7. Движение в неинерциальных системах отсчета

Неинерциальными системами отсчета называются системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальной системы отсчета.

7.1. Силы инерции

Обозначим: - инерциальная система отсчета, - неинерциальная система отсчета, движущаяся относительно с ускорением поступательно. Пусть в инерциальной системе К на частицу массой m действует сила. Запишем второй закон Ньютона .

Рис. 7.1 - Движение систем отсчета

Из рисунка следует , где: - радиус-вектор частицы в системе К, - радиус-вектор частицы в неинерциальной системе отсчета , - радиус-вектор начала системы координат в инерциальной системе К. Продифференцируем дважды по времени и получим:

Из последнего уравнения видно, что при переходе в неинерциальную систему отсчета уравнение второго закона Ньютона изменяется. Введем обозначение .

Вектор называется силой инерции, которая учитывает ускоренное движение системы отсчета относительно К. Можно записать .

В неинерциальной системе отсчета, произведение массы частицы на ее ускорение равно векторной сумме сил , обусловленных взаимодействием тел, и силы инерции , действующей на тело в неинерциальной системе.