Физические основы механики (стр. 5 )

Рис.1.6 - Разложение ускорения на составляющие

Очевидно, что: Здесь – проекция тангенциального ускорения на направления вектора мгновенной скорости. Производная в общем случае не равна нулю. Это означает, что вектор , оставаясь неизменным по модулю, может менять свое направление в пространстве.

а)

Пусть частица перешла из 1 в 2 в течение бесконечно малого промежутка времени , пройдя при этом элементарный путь . Участок траектории настолько мал, что совпадает с малым участком окружности радиусом и с центром О.

б)

Проведем хорду 1-2, обозначим её длину . Очевидно, что: Построим треугольник векторов , где . Угол между векторами равен , кроме того

в)

Рис.1.7(а, б, в) - Расчет нормального и тангенциального ускорений

Построенные треугольники подобны, следовательно: . Запишем: Здесь - единичный вектор . Из треугольника 1-2-0 видно, что при , . В этом случае, из треугольника векторов, видно, что угол между и стремится к : , , .

Вектор будет перпендикулярен вектору , т. е. совпадет с вектором нормали к вектору мгновенной скорости. Тогда, Следовательно, . Очевидно, что теперь: Величина R называется радиусом кривизны траектории в данной точке. Итак, можем записать: , , . Вектор направлен вдоль скорости или противоположно . Вектор всегда перпендикулярен вектору и направлен во «внутреннюю область» область. В результате, вектор полного ускорения также направлен в ту же «внутреннюю область».

1.8. Особенности тангенциального и нормального ускорений

Пусть частица имеет только тангенциальное ускорение. Запишем: ,

. Вектор направлен также как и вектор , если направления и совпадают. Вектор направлен против вектора , если вектор имеет направление, противоположное направлению вектора . В результате действия вектор за время получает приращение в направлении вектора . В результате модуль мгновенной скорости изменяется, но направление мгновенной скорости остается прежним. Тангенциальное ускорение приводит к изменению модуля мгновенной скорости. Направление скорости при этом не изменяется.

Рис.1.8 - Тангенциальное ускорение

Пусть теперь имеется только нормальное ускорение. Запишем: .

Рис.1.9 - Нормальное ускорение

Вектор направлен перпендикулярно вектору . В результате за время направление вектора мгновенной скорости изменяется. Найдем модуль вектора скорости после приращения вектора скорости:

.

Величину можно взять настолько малой, что слагаемым под корнем можно будет пренебречь по сравнению с единицей. Следовательно, Нормальное ускорение приводит к изменению направления вектора мгновенной скорости. Модуль скорости при этом не изменяется.

Наконец, если одновременно существуют и тангенциальное и нормальное ускорения, то скорость изменяется как по величине, так и по направлению.

Если частица движется по криволинейной траектории, то мгновенная скорость в разных точках траектории имеет различное направление, т. е. направление скорости в процессе движения изменяется. Следовательно, в этом случае имеется нормальное ускорение. Движение по криволинейной траектории происходит с нормальным ускорением, отличным от нуля.

Рис.1.10 - Центростремительное ускорение

При движении по окружности нормальной ускорение, направленное к центру окружности, называют также центростремительным ускорением.

1.9. Уравнение кинематики для материальной точки

Пусть в нулевой (начальный) момент времени частица находится в точке 1 с радиус-вектором : , . За время после начала движения частица перемещается вдоль некоторой траектории в точку 2 с радиусом-вектором . Разобьем интервал времени от 0 до на очень большое число элементарных интервалов: . За каждый такой интервал частица совершает элементарные перемещения: Результирующее перемещение частицы за все время равно: . Для каждого элементарного интервала времени справедливо: , где - мгновенная скорость, постоянная в течение . Отсюда: , . При сумму можно заменить определенным интегралом: