Физические основы механики (стр. 6 )

Из рисунка видно, что . Следовательно, . Теперь необходимо найти зависимость . Пусть в начальный момент времени мгновенная скорость равна . Для каждого интервала запишем: , , где - приращение мгновенной скорости за время , - ускорение в течение этого интервала времени.

Рис.1.11 - Вычисление вектора перемещения

Очевидно, что по истечении имеем: . По истечении промежутка времени : . Наконец, в момент времени , скорость равна: .

1.10. Уравнения кинематики для равнопеременного движения

Движение материальной точки называется равнопеременным, если ускорение остается постоянным по величине и направлению с течением времени: . Вычислим и . Для этого запишем:,

.

Итак,, . Спроецируем равенства на оси декартовой системы координат. Получим,

,

.

Здесь, - проекции скорости частицы в нулевой момент времени, - проекции ускорения частицы, - координаты частицы в нулевой момент времени, - координаты частицы в момент времени .

1.11. Уравнения кинематики для равномерного движения

Движение материальной точки называется равномерным, если вектор мгновенной скорости остается постоянным по величине и направлению с течением времени: . Запишем: . При равномерном движении ускорение равно нулю: . Из предыдущего параграфа можно получить:

,

1.12. Прямолинейное равнопеременное движение

Пусть частица движется, например, вдоль оси , так что изменяется только координата x. В этом случае достаточно записать уравнения для проекций на ось : Часто индексы «x» не пишут, и при этом выражения принимают следующий вид: , .

Рис.1.12 - Движение вдоль оси х

1.13. Вычисление пути

Рассмотрим движение частицы вдоль траектории. За элементарный промежуток времени , частица пройдет элементарный путь , за промежуток пройдет путь и т. д. Длина пути, пройденного частицей за время , равна: . Запишем для i-го участка: , где - модуль мгновенной скорости на i-м участке пути. Далее, . В пределе при получаем: , где есть модуль мгновенной скорости. Пусть движение происходит с постоянной по величине мгновенной скоростью , тогда:

Рассмотрим движение частицы вдоль оси , при котором направление скорости частицы не изменяется. Пусть движение происходит с постоянным ускорением. Запишем: . В этом случае путь равен расстоянию между точками с координатами и :

Рис.1.13 - Вычисление пути при прямолинейном движении

1.14. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Абсолютно твердым телом (твердым телом) называется система материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными.

Движение твердого тела, при котором все его точки описывают окружности, центры которых лежат на некоторой прямой, называется вращением вокруг неподвижной оси.

Рис.1.14 - Движение материальной точки по окружности

Пусть при вращении твердого тела точка М движется по окружности радиуса R с центром O, лежащим на оси вращения O1O2. Пусть за элементарный интервал времени dt радиус R, соединяющий точку М с центром окружности повернулся на элементарный угол dφ, который называется элементарным углом поворота тела. Введем вектор , модуль которого равен элементарному углу поворота, выраженному в радианах: . Направим вектор вдоль оси вращения так, чтобы его направление и направление вращения тела были связаны т. н. правилом правого буравчика: направление вектора совпадает с направлением поступательного движения конца правого буравчика, если ось буравчика расположить вдоль оси вращения, а рукоятку поворачивать в направлении вращения тела. Вектор называется вектором элементарного поворота.

Угловой скоростью называется вектор, равный отношению вектора элементарного поворота к длительности элементарного промежутка времени, в течение которого произошел поворот: . Направление вектора совпадает с направлением вектора . Следовательно, вектор связан с направлением вращения тела правилом правого буравчика. Запишем для модуля угловой скорости Возьмем точку Р, лежащую на одном радиусе с точкой М, но ближе к оси вращения. За время , точки М и Р проходят разный путь, но при этом вместе с радиусом оси поворачиваются на один и тот же угол . Следовательно, обе точки имеют одну и ту же угловую скорость.