Физические основы механики (стр. 15 )

Рис. 5.1 - Момент силы

Проведем через точку О прямую и назовем ее осью z. Обозначим угол между вектором и осью – . Проекция вектора на ось z равна: Величина называется моментом силы относительно оси z.

5.2. Пара сил

Две равные по модулю и противоположные по направлению силы образуют пару сил:

. Расстояние между направлениями действия сил называется плечом пары сил.

.

Рис. 5.2 - Пара сил

Обозначим - векторную сумму моментов сил, действующих на частицы. Вычислим:

Получим: . Вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка, «от нас». Модуль момента пары сил равен: .Если взять другую точку О, то векторы изменятся, но останется прежним.

Суммарный момент пары сил относительно любой точки будет одинаковым, т. е. не зависит от выбора точки О.

Рис. 5.3 - Суммарный момент пары сил

Рассмотрим две взаимодействующие между собой частицы. Их можно рассматривать как пару сил с нулевым плечом пары сил d=0. При этом, очевидно, момент такой пары сил будет равен нулю: .

5.3. Момент импульса

Моментом импульса относительно точки О называется векторная величина: . Здесь: - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку, где находится частица с импульсом .

Рис. 5.4 - Момент импульса

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и . Модуль момента импульса равен: . Проведем через точку О ось z, обозначим - угол между и осью z . Проекция вектора момента импульса на ось z называется моментом импульса относительно оси .

Рассмотрим частицу, движущуюся по окружности радиуса R с постоянной скоростью V. Момент импульса частицы относительно центра окружности равен: . Вектор момента импульса совпадает по направлению с осью z. Момент импульса относительно оси z, перпендикулярной плоскости, в которой лежит окружность: .

Рис. 5.5 - Момент импульса материальной точки, движущейся по окружности

5.4. Уравнение моментов

Для некоторой частицы запишем относительно точки О: . Продифференцируем:

Здесь использованы соотношения: Производная по времени от момента импульса частицы относительно некоторой точки равна моменту силы, действующей на частицу, относительно той же точки: . Это уравнение моментов относительно точки О. Спроецируем равенство на ось z: . Это уравнение моментов относительно оси z.

5.5. Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим систему N частиц, взаимодействующих между собой и на которые действуют внешние силы. Запишем уравнение моментов для i-й частицы: Запишем для N частиц и сложим:

.

Моментом импульса системы частиц относительно некоторой точки называется векторная сумма моментов импульсов частиц системы относительно этой же точки: . Моментом импульса системы частиц относительно оси называется алгебраическая сумма моментов импульсов частиц системы относительно этой же оси: . Рассмотрим два слагаемых из первой суммы в правой части.

Рис. 5.6 - Действие внутренних сил

Здесь, - это внутренние силы, для которых справедлив третий закон Ньютона: . Рассматривая их пару сил с плечом пары равным нулю, получаем: . Рассматривая аналогичным образом попарно все частицы системы, приходим к выводу: . Следовательно, .

Производная момента импульса системы частиц по времени равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на частицы системы.

Все моменты определяются относительно одной и той же точки О. Спроецировав на ось z, получим:. Пусть рассматриваемая система частиц замкнута: , . Момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянной или сохраняется: . Это закон сохранения момента импульса. Если система незамкнута, то у нее может сохраняться момент импульса относительно некоторой оси. Например, пусть выполняется условие: . Тогда, ,

Глава 6. Динамика твердого тела

6.1. Основное уравнение динамики твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси

Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z. Разобьем тело на очень большое число частиц массами . Рассмотрим движение i-ой частицы.

Рис. 6.1 - Вращение твердого тела

Частица движется по окружности радиусом со скоростью . Обозначим центр окружности О и найдем момент импульса i-й частицы относительно О: . Вектор направлен вдоль оси z. Найдем проекцию на ось z, т. е.– момент импульса i-й частицы относительно оси z: . Пусть угловая скорость вращения тела равна , тогда: Момент импульса всего тела относительно оси z равен: . Обозначим: , . Суммирование идет по всем частицам тела.