Физические основы механики (стр. 8 )

1.17. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения

Движение частицы твердого тела можно характеризовать величинами: и .

Величины называются линейными, а - угловыми характеристиками движения. Найдем связь между ними.

Рис.1.16 - Линейные и угловые характеристики движения материальной точки

Проведем из произвольной точки на оси вращения радиус-вектор в точку М. За время точка, двигаясь по окружности радиуса R, совершает элементарное перемещение .

Модуль равен: . Вектор перпендикулярен как , так и , следовательно, , . Разделим на обе части и получим:

, , . Все точки твердого тела имеют одну и ту же угловую скорость. Линейная скорость точек зависит от их расстояния от оси вращения.

Рис.1.17 - Расчет полного ускорения материальной точки

Продифференцируем по времени:

. Определим модуль и направление каждого векторного слагаемого. Вектор перпендикулярен векторам и , и по правилу векторного произведения направлен вдоль вектора скорости . Следовательно, первое слагаемое есть тангенциальное ускорение точки М: Для модуля второго слагаемого запишем:

. Вектор направлен вдоль радиуса к центру окружности, т. е. перпендикулярно к вектору скорости . Следовательно, этот вектор есть нормальное ускорение точки: Полное ускорение равно по величине: .

Глава 2. Динамика материальной точки

Динамика – раздел механики, изучающий движение тел с учетом причин возникновения и изменения движения. В основе классической динамики материальной точки лежат три закона Ньютона.

2.1. Первый закон Ньютона (закон инерции)

Для описания движения необходимо выбрать определенную систему отсчета. Кроме того, известно, что в различных системах отсчета движение в общем случае выглядит по-разному. Возникает задача выбора такой системы отсчета, в которой законы механики будут более простыми. Оказывается, что такие системы отсчета существуют и обладают следующим важным свойством: тело, на которое не действуют другие тела, движется в указанной системе прямолинейно и равномерно или по инерции. Соответственно, систему отсчета называют инерциальной. Утверждение, что инерциальные системы существуют, составляет суть первого закона Ньютона или закона инерции.

Существуют системы отсчета, называемые инерциальными, в которых всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Оба указанных состояния (покоя и равномерного прямолинейного движения) характеризуются тем, что ускорение тела равно нулю. Существование инерциальных систем неочевидно, однако подтверждается опытом. С очень высокой степенью точности инерциальной является т. н. гелиоцентрическая система отсчета, связанная с Солнцем. Во многих случаях с достаточной степенью точности можно считать инерциальной систему отсчета, связанную с Землей. Системы отсчета, не являющиеся инерциальными, называются неинерциальными.

2.2. Второй закон Ньютона

Из опыта известно, что если на тело не оказывается никакого воздействия, то оно сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения сколь угодно долго. Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью.

Из опыта известно, что некоторые тела оказывают действие на другие тела. Количественная характеристика действия одного тела на другое называется силой. Результат действия зависит как от его интенсивности, так и от направления воздействия и точки приложения. Это указывает на то, что сила является векторной величиной. Будем обозначать силу . Из опыта известно, что если на некоторое тело действует сила, то скорость тела при этом изменяется в соответствии с законом: , где - время действия силы, - приращение скорости тела в результате действия силы. Постоянная для данного тела величина m называется инертной массой (массой) и является количественной мерой инертности тела: m, кг. Из опыта известно, что масса тела оказывается одной и той же независимо от того покоится тело или движется: . Запишем: .

Импульсом тела называется вектор, равный: Связь силы и изменения импульса определяется вторым законом Ньютона.

В инерциальной системе отсчета производная от импульса материальной точки по времени равна силе, действующей на материальную точку: . Запишем: m = const, , , Произведение массы материальной точки на ее ускорение равно силе, действующей на материальную точку.

2.3. Третий закон Ньютона

Во всех случаях, когда в опыте участвуют только два тела, например 1 и 2, и тело 1 сообщает ускорение телу 2, обнаруживается, что и тело 2 сообщает ускорение Это означает, что действие тел друг на друга имеет характер взаимодействия. Третий закон Ньютона определяет общее свойство всех сил взаимодействия.

Силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки: , .

Рис.2.1 - Взаимодействие материальных точек

В третьем законе Ньютона предполагается, что обе силы равны в любой момент и независимо от движения тел.

2.4. Сложение сил

Пусть на материальную точку одновременно действуют несколько сил: в результате чего частице сообщается ускорение . Пусть на эту же частицу действует одна сила, равная . Из опыта известно, что сила сообщает частице такое же ускорение , как и n сил. Действие нескольких сил, приложенных одновременно к одной и той же материальной точке, эквивалентно действию одной силы, равной геометрической сумме всех приложенных сил,