Физические основы механики (стр. 7 )

Все точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеют одну и ту же угловую скорость:

Угловым ускорением называется вектор, равный отношению элементарного приращения вектора угловой скорости к элементарному промежутку времени, за который произошло это приращение: .

1.15. Проекция угловой скорости и углового ускорения на ось вращения

Обозначим ось вращения O1O2 как ось , причем положительное направление оси совпадает с направлением вектора угловой скорости

Рис.1.15 - Ось вращения z

Найдем проекцию вектора на ось вращения :.

Пусть вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения . Направление может совпадать с направлением вектора угловой скорости или может быть противоположным вектору :.

Запишем:

,

.

Проекция углового ускорения на ось вращения равна производной по времени проекции угловой скорости на эту же ось. Если , то модуль вектора возрастает, при , модуль убывает.

1.16. Уравнение кинематики для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Основная задача кинематики при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси заключается в нахождении зависимости от времени угла поворота и модуля угловой скорости:

.

Равнопеременное вращение

Вращение твердого тела называется равнопеременным, если угловое ускорение остается постоянным по направлению и величине с течением времени: . Из этого условия следует, что . Запишем два уравнения: , . Перепишем их: Величина есть приращение проекции угловой скорости на ось вращения за элементарный промежуток времени . Величина есть приращение угла поворота тела за тот же элементарный промежуток времени . Рассмотрим вращение тела за промежуток от нулевого момента времени до момента t . Пусть в нулевой момент выполняются условия: . Разобьем интервал времени от 0 до на очень большое число элементарных интервалов времени . В течение i-го интервала проекция угловой скорости и угол поворота получают приращения: , . Значения и в момент найдем следующим образом: . Перейдем к пределу при , , . Из первого интеграла при получаем: . Подставим это значение во второй интеграл:

. Запишем результаты:

. Часто при этом индекс «z» не пишут. Кроме того, очевидно, что может иметь следующие значения: , где - модуль углового ускорения. Запишем: , . Здесь, - величина угловой скорости в нулевой момент времени; - величина угловой скорости в момент времени ; «+» - равноускоренное вращение, при котором угловая скорость возрастает; «-» – равнозамедленное вращение, при котором угловая скорость убывает; – угол поворота в момент времени .

Равномерное вращение

Вращение называется равномерным, если угловая скорость остается неизменной по величине и направлению:

Запишем: . Очевидно, что для того, чтобы , необходимо: . Тогда, , .Возьмем приращение от обеих частей второго уравнения: Обозначим: , где Т – интервал времени, за который приращение угла составляет 2π радиан. Запишем: , . Величина имеет смысл промежутка времени, за которое тело совершает один оборот вокруг оси вращения. Величина называется периодом вращения. Величина, обратная периоду вращения, называется частотой вращения: Частота вращения численно равна числу оборотов в единицу времени. Запишем: , , , где N – количество оборотов, которое тело совершает за время .