Физические основы механики (стр. 18 )

Выделим вертикальный столб жидкости высотой h и площадью основания ds, так, чтобы верхняя поверхность столба находилась на поверхности жидкости. Найдем силу, действующую на нижнее основание столба. Эта сила складывается из веса жидкости над основанием ds и силы давления атмосферы Давление на основание равно: Первое слагаемое обусловлено свойствами жидкости и называется гидростатическим давлением Второе слагаемое учитывает давление, создаваемое на поверхность покоящейся жидкости газовой атмосферой, находящейся над ней.

Рис. 8.2 - Вертикальный слой жидкости

8.3. Закон Архимеда

Рассмотрим однородное тело плотностью в виде параллелепипеда расположенное в жидкости как показано на рисунке. Обозначим размеры параллелепипеда: a – высота, b, c –боковые стороны.

Рис. 8.3 - Тело, погруженное в жидкость

Пусть верхняя грань параллелепипеда находится на глубине h от поверхности жидкости. Найдем результирующую силу, действующую на тело со стороны жидкости:

Здесь, –орт оси z, V = abc – объем параллелепипеда, – плотность жидкости.

На тело, погруженное в жидкость, со стороны жидкости действует сила, направленная вертикально вверх и равная Это закон Архимеда. Сила называется архимедовой силой или выталкивающей силой. Закон Архимеда справедлив для тела произвольной формы.

Рассмотрим условие плавания тела в жидкости в случае полного погружения тела в жидкость. Очевидно, для плавания тела массой m необходимо выполнение условия

Рис. 8.4 - Плавание тел

8.4. Движение жидкости

Движение жидкости называется течением. Существует течение двух типов. Если при течении происходит перемешивание слоев жидкости, то оно называется турбулентным. Течение, при котором слои жидкости не перемешиваются, называется ламинарным. При течении жидкости каждая частица жидкости характеризуется скоростью, зависящей от положения частицы и времени Если в каждой точке жидкости вектор скорости остается постоянным (не зависит от времени), то течение жидкости называется стационарным. Линии, проведенные в жидкости так, что касательная к ним в каждой точке совпадает по направлению с вектором скорости в этой точке, называются линиями тока. Очевидно, что линии тока совпадают с траекторией движения частицы жидкости. Линии тока проводят тем гуще, чем больше значение модуля скорости.

При стационарном течении картина линий тока остается неизменной со временем. Совокупность линий тока образует поверхность, если эта поверхность замкнута, то она называется трубкой тока.

Рис. 8.5 - Трубка тока в жидкости

Пусть ds – площадь сечения, перпендикулярная трубке тока. Выберем сечение таким образом, чтобы во всех точках ds частицы жидкости имели бы одну и ту же скорость .

Рис. 8.6 - Элемент жидкости в трубке тока

Найдем массу жидкости dm, которая протекает через ds за время dt. Построим цилиндр с основаниями ds и образующей равный Vdt. Все частицы жидкости, находящиеся от левого элемента ds на расстоянии меньшем, чем Vdt за время dt пройдут это расстояние и пересекут правый элемент ds. Следовательно, масса жидкости, пересекающей за время dt сечение ds, равна массе жидкости в объеме построенного цилиндра Левая часть равна

где - объем жидкости в выбранном цилиндре. Запишем, Итак, Здесь, dV – объем жидкости, протекающей за время dt через сечение площадью ds, Q – объем жидкости, протекающий за единицу времени через сечение площадью ds, V – скорость жидкости, одинаковая во всех точках сечения ds.

8.5. Уравнение неразрывности струи

Рассмотрим жидкость, текущую внутри трубки тока. Построим два сечения перпендикулярные линиям тока. Пусть скорость частиц в сечении равна , а в сечении равна .

Рис. 8.7 - Неразрывность трубки тока

За время dt через сечения и протекают элементарные массы жидкости:

Обозначим: – масса жидкости между сечениями и ,

– объем жидкости между сечениями и . Запишем, Если жидкость несжимаема, следовательно Отсюда делаем вывод, что:

Поскольку сечения и взяты произвольно, это означает, что Это выражение называется уравнением неразрывности струи или уравнением неразрывности.

8.6. Уравнение Бернулли

Рассмотрим трубку тока в однородном поле силы тяжести. Выделим часть жидкости сечениями и рассмотрим ее состояние в момент времени t. На сечения действуют давления , создающие силы давления : Если, например, , то жидкость между сечениями за некоторое время dt сместится по трубке так, что сечения перейдут из положений 1,2 в новые положения 1¢, 2¢. Обозначим - скорости частиц жидкости в сечениях . За время dt через сечения протекают массы жидкости равные

а)

Для несжимаемой жидкости:

Здесь, – объем жидкости, протекающей за dt через каждое сечение . Если рассматривать жидкость между сечениями как механическую систему массой m, то для нее можно записать выражение: