Динамическая метеорология (стр. 10 )

(2.1.28)

Каждое нормальное напряжение вызывает не только линейное сжатие или растяжение, но и относительное изменение объема за единицу времени, равное дивергенции вектора скорости. Вводя еще один коэффициент пропорциональности , соотношения между нормальными напряжениями и соответствующими деформациями можно выразить формулами

(2.1.29)

Суммируя эти соотношения, находим

. (2.1.30)

Учитывая соотношения (2.1.25) и (2.1.26), будем иметь

.

Итак,

. (2.1.31)

В связи с этим, равенство (2.1.30) принимает вид

. (2.1.32)

Откуда находим коэффициент пропорциональности

(2.1.33)

Подставляя найденное выражение (2.1.33) в соотношения (2.1.30), получаем окончательные выражения для нормальных напряжений вязкости

(2.1.34)

Таким образом, для того, чтобы полностью определить все вязкие напряжения поверхностных сил, нужно знать из опыта только одну величину , являющуюся кинематическим коэффициентом вязкости воздуха.

2.2. Уравнение движения атмосферы

Уравнение движения является выражением закона изменения количества движения (второго закона Ньютона), утверждающего, что изменение количества движения какого-либо тела за единицу времени равняется равнодействующей сил, приложенных к данному телу, и происходит в направлении этой равнодействующей.

Выделим в движущейся атмосфере произвольный объем воздуха . Вектор скорости движения точек этого объема, зависящий от времени и координат, обозначим через , а плотность воздуха – через . Силу тяжести и силу Кориолиса, действующие на единицу массы воздуха, обозначим через и .

Изменение количества движения бесконечно малого элемента объема за единицу времени будет равно , а изменение количества движения за единицу времени всего объема выразится тройным интегралом

Равнодействующая массовых сил, приложенных к элементам объема, также может быть представлена тройным интегралом по выделенному объему

Обозначим поверхностную силу, действующую на единицу площади, через . Тогда результирующая поверхностных сил, действующих на внешнюю поверхность , ограничивающую объем , будет выражаться через поверхностный интеграл по замкнутой поверхности

Приравнивая изменение количества движения за единицу времени равнодействующей всех сил, как, массовых, действующих на объем , так и поверхностных, приложенных к его внешней поверхности со стороны окружающего воздуха, получим векторное уравнение, выражающее закон изменения количества движения применительно к условиям движения воздуха в атмосфере

(2.2.1)

Выражая поверхностную силу , действующую на единицу площади, через три вектора поверхностных напряжений при помощи формулы (2.1.22), уравнение (2.2.1) можно переписать в следующем виде:

. (2.2.2)

В соответствии с теоремой Остроградского – Гаусса, поверхностный интеграл, стоящий в правой части уравнения (2.2.2), выражается через тройной интеграл при помощи формулы

Если заменить в уравнении (2.2.2) поверхностный интеграл через тройной, то уравнение принимает вид

Откуда, вследствие произвольности объема , имеем

(2.2.3)

Это есть векторное уравнение движения атмосферы в напряжениях. Проектируя его на оси координат, получим три скалярных уравнения движения атмосферы в напряжениях, называемых уравнениями Навье.

Направим оси и в горизонтальной плоскости, ось вертикально вверх. Тогда проекции силы тяжести на оси координат будут равны: .

При проектировании напряжений поверхностных сил выделим из состава их давление и перейдем к вязким напряжениям. Учитывая, что: проекция поверхностной силы на ось будет равна

(2.2.4)

Аналогично выразятся проекции поверхностных сил на оси и . Обозначая проекции вектора скорости на оси , , соответственно через , проектируя силу Кориолиса на координатные оси и раскрывая индивидуальные производные по времени, получим три уравнения в напряжениях

Если в этих уравнениях заменить вязкие напряжения и т. д. при помощи формул (2.1.28) и (2.1.29), то получим уравнения движения атмосферы в форме Навье–Стокса

Совокупность трех уравнений движения в проекциях на оси координат эквивалентна одному векторному уравнению движения (2.2.3), которое теперь можно записать в виде

(2.2.6)

где – сила вязкости.

При изучении атмосферных движений планетарного масштаба пользуются уравнениями движения атмосферы в сферической системе координат, за начало которой принимается центр Земли. Координатами точки в сферической системе являются: радиус-вектор , то есть расстояние от центра Земли, угол географической долготы , отсчитываемый от некоторого начального меридиана к востоку, и полярный угол или дополнение географической широты (рис.16).

Рис. 16