Динамическая метеорология (стр. 5 )

(1.9.2)

Если спроектировать вектор скорости на оси координат и найти его проекции и в точках 1, 2, 3 и 4, то горизонтальная дивергенция скорости и вертикальная составляющая вихря скорости определятся при помощи соотношений:

(1.9.3)

(1.9.4)

Чтобы определить вторые производные, возьмем на осях координат промежуточные точки 1', 2', 3', 4', отстоящие от начала координат на расстояние (рис.7). Применяя последовательно метод центральных разностей, вначале вычислим первые производные от величины в этих точках, а затем вторые производные в точке 0:

Окончательно, для вторых производных получим следующие выражения:

(1.9.5)

При решении ряда задач часто приходится вычислять сумму вторых пространственных производных от какой-либо величины. Оператор Лапласа или лапласиан символически обозначается

. (1.9.6)

Очень часто используется двумерный оператор Лапласа

(1.9.7)

На основании выражений (1.9.5) для двумерного лапласиана (1.9.7) получим

(1.9.8)

Формулу (1.9.8) удобно записать в несколько ином виде, введя величину, представляющую среднее арифметическое из значений в четырех точках окружности радиуса r:

. (1.9.9)

Тогда формула (1.9.8) примет вид

Можно легко показать, что эта формула справедлива, если под понимать среднее из значений не в четырех точках, а в любом числе точек, равномерно расположенных на окружности.

1.10. Изменение метеорологических величин во времени. Связь между полной и частной производными по времени

Изменение метеорологической величины с течением времени можно рассматривать с двух точек зрения.

Во-первых, можно определять, как изменяется значение величины в одной и той же частице движущегося воздуха. Такое изменение называется индивидуальным изменением.

Во-вторых, можно определять, как изменяется значение величины в неподвижной относительно выбранной системы отсчета точке пространства при прохождении через нее различных частиц воздуха. Такое изменение величины с течением времени в одной и той же фиксированной точке поля называется локальным или местным изменением.

В общем случае значение какой-либо метеорологической ве­личины зависит от времени и координат

. (1.10.1)

Если рассматривать одну и ту же частицу воздуха, движущуюся в пространстве, то ее координаты с течением времени изменяются.

Следовательно, значение величины в движущейся воздушной частице является сложной функцией независимой переменной . Поэтому индивидуальное изменение во времени величины в движущейся частице воздуха будет равно полной производной по времени от как от сложной функции. В связи с этим полная производная по времени называется индивидуальной производной. Итак,

(1.10.2)

Производные по времени от координат частицы являются составляющими скорости движения ее в направлении соответствующих осей:

(1.10.3)

Следовательно, индивидуальное изменение во времени метео­рологической величины выразится формулой

(1.10.4)

Частная производная по времени выражает изменение величины во времени при постоянных значениях координат , то есть в данной точке поля. Следовательно, локальное изменение величины во времени определяется частной производной по времени, которая также называется локальной производной.

В метеорологии большое практическое значение имеет локальное изменение метеорологических величин, например, изменение температуры воздуха на одной и той же станции. Из выражения (1.10.4) получаем

(1.10.5)

Произведения компонентов скорости движения частицы воздуха на соответствующие составляющие градиента , стоящие в скобках правой части формулы (1.10.5), определяют изменение во времени величины в данной фиксированной точке поля, вызванное перемещением в нее частиц воздуха из других точек с другими значениями . Сумма этих произведений равна скалярному произведению вектора скорости на градиент .

где – угол между вектором скорости и градиентом .

В метеорологии локальное изменение величины в данной точке, обусловленное перемещением частиц воздуха, подразделяется на адвективное, вызванное горизонтальным переносом воздуха, и конвективное, связанное с вертикальными движениями воздуха:

(1.10.6)

где – модуль горизонтальной скорости воздушных течений; - горизонтальный градиент , – угол между этими векторами. В связи с этим, индивидуальное изменение величины , выражаемое формулой (1.10.4), можно переписать в следующем виде:

(1.10.7)

Таким образом, индивидуальное изменение величины внутри движущейся частицы воздуха равно сумме локального, адвективного и конвективного изменений.

Если в каждой движущейся частице воздуха значение c течением времени не меняется , то в любой точке поля локальное изменение величины будет обусловлено только перемещением частиц воздуха и выразится формулой

. (1.10.8)

(1.10.9)

Знак минус в правых частях этих выражений указывает на то, что при увеличении в направлении движения в каждой точке поля значение данной величины уменьшается с течением времени.

1.11. Деформация воздушной частицы и теорема
Коши – Гельмгольца о разложении скорости

Расстояния между отдельными точками одной и той же частицы жидкости или газа не остаются постоянными. Отдельные точки внутри частицы перемещаются относительно друг друга, что сопровождается деформацией частицы, т. е. изменением ее формы и объема. В связи с этим, в отличие от абсолютно твердого тела, скорость движения любой точки воздушной частицы зависит не только от поступательного и вращательного движений данной частицы, но еще и от ее деформации, т. е. от относительного перемещения самих точек внутри частицы воздуха, к которой они относятся.