Динамическая метеорология (стр. 8 )

Рис. 14

Рассмотрим какой-нибудь переменный вектор , проекции которого на неподвижные оси координат обозначим через , а на вращающиеся оси – через . В неподвижной системе координат

. (2.1.3)

Тот же самый вектор во вращающейся системе координат будет иметь вид

. (2.1.4)

Определим полную производную по времени от вектора , выражая ее во вращающейся системе координат. Дифференцируя выражение (2.1.4) и учитывая, что единичные векторы , вращаясь, меняют свое направление с течением времени, будем иметь

(2.1.5)

Первые три слагаемые правой части равенства (2.1.5) выражают полную производную по времени от вектора , взятую относительно вращающейся системы координат

. (2.1.6)

Производные по времени от единичных векторов , , равны линейным скоростям, с которыми движутся концы этих векторов, вращаясь с постоянной угловой скоростью . Линейная скорость вращательного движения выражается векторным произведением угловой скорости на радиус вращения. В данном случае радиусами вращения являются сами единичные векторы, так что

.

Следовательно, сумма последних трех членов правой части формулы (2.1.5) будет равна векторному произведению угловой скорости вращения системы координат на вектор

(2.1.7)

На основании формул (2.1.5), (2.1.6), (2.1.7) полная производная по времени от вектора в неподвижной системе координат выразится через производную во вращающейся системе при помощи соотношения

(2.1.8)

которое справедливо для любого переменного вектора . Возьмем радиус-вектор движущейся точки (рис.14), определяемый равенствами , и подставим его вместо вектора в соотношение (2.1.8), тогда будем иметь . Так как есть абсолютная скорость движения точки в неподвижной системе координат, есть относительная скорость движения точки во вращающейся системе координат, то соотношение между абсолютной и относительной скоростями точки выразится формулой

(2.1.9)

Если в формуле (2.1.8) вместо вектора взять вектор скорости абсолютного движения точки , то получим

. (2.1.10)

Заменяя в правой части уравнения (2.1.10) скорость абсолютного движения в неподвижной системе относительной скоростью во вращающейся системе координат при помощи формулы (2.1.9) будем иметь

(2.1.11)

Выполняя дифференцирование и раскрывая скобки, получим

или

(2.1.12)

В векторной алгебре двойное векторное произведение выражается формулой , правую часть которой, учитывая, что в данном случае вектор угловой скорости направлен по оси , можно преобразовать следующим образом:

где – составляющая радиус-вектора , перпендикулярная оси , т. е. радиус вращения точки вокруг оси (см. рис.14), следовательно,

. (2.1.13)

На основании формулы (2.1.13) полученное равенство (2.1.12) для абсолютного ускорения частицы в сложном движении принимает следующий вид:

(2.1.14)

В метеорологии основное значение имеет относительное ускорение частиц , возникающее по отношению к земной поверхности. Из соотношения (2.1.14) следует, что

(2.1.15)

Первое слагаемое правой части формулы (2.1.15) является ускорением абсолютного движения частиц воздуха относительно инерциальной системы отсчета. Второе слагаемое зависит от скорости движения частиц воздуха относительно вращающейся Земли и является кориолисовым ускорением. Наконец, третье слагаемое представляет центробежное ускорение вращения Земли, оно не зависит от скорости движения частицы воздуха и является составляющей ускорения силы тяжести.

Переходя к рассмотрению сил и относя их к единице массы,
т. е. пользуясь при этом значениями ускорений, на основании формулы (2.1.15) приходим к выводу о том, что сила Кориолиса равняется взятому со знаком минус удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости вращения Земли на вектор скорости относительного движения , т. е. на вектор скорости ветра.

В метеорологии преимущественно рассматривается скорость относительного движения , т. е. скорость ветра, которую в дальнейшем будем обозначать просто через без штриха, поэтому для силы Кориолиса, действующей на единицу массы воздуха, будет иметь выражение

(2.1.16)

Проектируя векторное произведение на оси декартовой системы координат, находим составляющие силы Кориолиса по осям координат:

. (2.1.17)

Если начало системы координат взять на поверхности Земли, ось направить на восток, ось – на север, ось – вертикально вверх, то проекции угловой скорости вращения Земли будут равны:

. (2.1.18)