Динамическая метеорология (стр. 23 )

Выведем уравнение притока тепла в более общей форме, исходя из закона сохранения энергии, состоящего в том, что изменение суммы кинетической и внутренней энергии воздуха равно работе всех массовых и поверхностных сил, приложенных к воздуху, сложенной с притоком тепла.

Рассмотрим некоторый конечный объем воздуха . Относя все изменения к единице времени, закон сохранения энергии можно выразить уравнением

(3.9.1)

где – приток тепла, отнесенный ко всему объему воздуха ; – внутренняя энергия объема ; Е – кинетическая энергия объема ; – работа всех массовых в единицу времени; – работа всех поверхностных сил в единицу времени.

Возьмем теперь уравнения движения вязкой среды в напряжениях:

(3.9.2)

Умножая уравнения (3.9.2) соответственно на , , , складывая их и интегрируя по всей массе, занимающей объем , приходим к уравнению для кинетической энергии

Замечая, что

и беря аналогичные соотношения для осей и , уравнение для кинетической энергии можем переписать в виде

(3.9.3)

Второй интеграл правой части уравнения (3.9.3) заменим через поверхностный. По теореме Остроградского-Гаусса:

Обозначим через подынтегральную функцию в последнем интеграле формулы (3.9.3); тогда эта формула примет вид

(3.9.4)

Вычитая выражение (3.9.4) из формулы (3.9.1), получим уравнение притока тепла в следующей форме:

(3.9.5)

Это уравнение показывает, что изменение внутренней энергии воздуха происходит, во-первых, за счет притока тепла извне и, во-вторых, за счет преобразования части механической энергии в тепловую.

Перейдем теперь от интегральной формы уравнения притока тепла к дифференциальной форме. Обозначая через внутреннюю энергию, отнесенную к единице массы, а через – количества тепла, сообщаемое извне единице массы в единицу времени, , приведем уравнение (3.9.5) к виду

(3.9.6)

Если изменить порядок операций в левой части (что возможно, так как масса остается неизменной) и перенести все члены в левую часть, то будем иметь

Так как объем произволен, то

(3.9.7)

или в развернутом виде

(3.9.8)

Это есть наиболее общая форма уравнения притока тепла. Если в уравнении (3.9.8) напряжения поверхностных сил заменить через скорости деформации, то после соответствующих преобразований, уравнение притока тепла приводится к виду

(3.9.9)

Такова окончательная форма уравнения притока тепла. Выясним физический смысл членов, входящих в уравнение (3.9.9). Предполагая, что атмосфера является идеальной средой, лишенной вязкости, то есть, считая, что , уравнение притока тепла принимает вид

Согласно уравнению неразрывности , следовательно . Или, если принять во внимание, что для идеального газа , то

(3.9.10)

Второй член правой части уравнения притока тепла (3.9.10) отличен от нуля только в случае сжимаемой среды. Следовательно, член выражает тепло, идущее на работу расширения, или выделяющееся в результате сжатия. Все остальные члены в уравнении (3.9.9) связаны с вязкостью. Эти члены выражают количество тепла, возникающее в единицу времени в единице объема воздуха за счет превращения механической энергии в тепловую, обусловленное влиянием вязкости. Эта совокупность членов выражает диссипацию или рассеяние механической энергии

(3.9.11)

Диссипация механической энергии состоит из двух частей. Первая часть связана со сжимаемостью вязкого воздуха, а вторая с его деформацией. Обычно влиянием сжимаемости воздуха пренебрегают и диссипацию механической энергии определяют формулой

(3.9.12)

Уравнение (3.9.12) показывает, что диссипация механической энергии является величиной положительной. Это значит, что за счет диссипации не может происходить потери тепла, а всегда происходит приток тепла, т. е. превращение механической энергии в теплоту.

Учитывая диссипацию механической энергии, уравнение притока тепла можно записать в виде

(3.9.13)

Диссипация механической энергии в тепловую, обусловленная вязкостью воздуха, мала и ей обычно пренебрегают.

Если пренебречь диссипацией механической энергии и заменить плотность воздуха при помощи уравнения состояния, то

(3.9.14)

Если ввести потенциальную температуру , то для идеальной атмосферы уравнение притока тепла будет иметь вид:

. (3.9.15)

или в развернутой форме

(3.9.16)

Напомним, что здесь – количество тепла, сообщаемое извне единице массы воздуха за единицу времени, которое связано с внешним притоком тепла к единичному объему воздуха в единицу времени формулой

. (3.9.17)

Приток тепла к элементарной воздушной частице складывается из лучистого притока , обусловленного процессами излучения и поглощения лучистой энергии, из фазового притока , обусловленного выделением или поглощением скрытой теплоты в результате фазовых превращений воды, и из притока тепла , вызванного молекулярной теплопроводностью воздуха

. (3.9.18)

Молекулярная теплопроводность воздуха очень мала, поэтому величиной можно пренебречь. Тогда уравнение притока тепла принимает следующий вид:

(3.9.19)

Во всех приведенных здесь формах уравнения притока тепла входящие в них величины имеют мгновенные значения.