Динамическая метеорология (стр. 2 )

(1.2.3)

Обозначая единичные векторы координатных осей через градиент можно представить в виде векторной суммы его составляющих (рис.2):

. (1.2.4)

Абсолютная величина градиента определяется как длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равняются проекциям градиента на оси координат

. (1.2.5)

Рис. 2

Направление градиента относительно осей координат определяется направляющими косинусами углов между градиентом и осями (рис.2):

, , . (1.2.6)

Для записи градиента в векторной форме пользуются символическим вектором «набла» , или так называемым дифференциальным оператором Гамильтона, обозначающим векторную операцию образования градиента от какой-либо величины

. (1.2.7)

Это выражение рассматривается как символический вектор , проекции которого на оси координат равны:

; (1.2.8)

. (1.2.9)

В случае двумерного поля, например, при распределении скалярной величины в плоскости символический вектор имеет вид

.

Соответственно этому градиент плоского поля величины равен

.

Модуль градиента в плоскости выразится формулой

1.3. Линии тока и траектории частиц воздуха

Поля различных векторов имеют ряд общих характеристик. Рассмотрим векторное поле ветра, т. е. поле воздушных течений в атмосфере. Векторное поле ветра наглядно представляется семейством линий тока, воспроизводящих общую картину воздушных течений в данный момент времени. Под линией тока понимается такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости движения соответствующей частицы в данный момент времени (рис. 3). Если движение является установившимся, т. е. в каждой точке поля скорость ветра не меняется с течением времени, то линии тока совпадают с траекториями движения частиц воздуха. В общем же случае, при неустановившемся движении, когда скорость ветра изменяется с течением времени, линии тока в различные моменты времени не совпадают с траекториями частиц.

Рис. 3

Дифференциальные уравнения линий тока в декартовых координатах, как известно из гидродинамики, выражаются равенствами

, (1.3.1)

где – составляющие скорости ветра по осям координат.

1.4. Поток вектора скорости через поверхность

Для количественной оценки мощности воздушных течений в заданном направлении пользуются понятием потока вектора через поверхность. Потоком вектора скорости через поверхность называется скалярная величина равная объему воздуха, протекающего через данную поверхность в единицу времени.

Элементарный поток вектора скорости через бесконечно малый элемент поверхности будет равен объему цилиндра с основанием и с образующей, равной модулю скорости (рис.4).

. (1.4.1)

Рис. 4

Элемент поверхности будем рассматривать как вектор , тогда элементарный поток вектора можно представить в виде скалярного произведения вектора скорости на элемент поверхности как вектор

(1.4.2)

где – проекция на нормаль к поверхности .

Поток вектора скорости через заданную поверхность будет равен сумме потоков через все элементы и в пределе выразится поверхностным интегралом

. (1.4.3)

Если – замкнутая поверхность, то

. (1.4.4)

В случае замкнутой поверхности за положительное направление нормали к ней примем внешнюю нормаль. Поток вектора скорости через замкнутую поверхность будет положительным, если из объема, ограниченного данной поверхностью, вытекает воздуха больше, чем в него втекает.

1.5. Дивергенция вектора скорости

Рассмотрим общее понятие дивергенции какого-либо вектора на примере поля скорости.

Воздух, как сжимаемая среда, в процессе своего движения может расширяться или сжиматься, что сопровождается увеличением или уменьшением его удельного объема. Относительное изменение объема данной массы воздуха за единицу времени или изменение его плотности зависит от распределения в пространстве скорости движения, т. е. связано с потоком вектора скорости, и выражается скалярной величиной, называемой дивергенцией (расхождением) вектора скорости.

Дивергенцией вектора скорости в данной точке поля называется предел отношения потока вектора скорости через замкнутую поверхность, к величине объема, ограниченного этой поверхностью, при стягивании ее к точке.

. (1.5.1)

Понятие дивергенции векторного поля, как и потока, определено независимо от выбора системы координат. Однако формула (1.5.1) мало пригодна для вычисления дивергенции. Поэтому получим выражение дивергенции в декартовых координатах. На основании формулы (1.4.2)

. (1.5.2)

Согласно теореме Остроградского-Гаусса о переходе от двойного интеграла по поверхности к тройному интегралу по объему, ограниченному этой поверхностью, имеем

(1.5.3)

На основании этой формулы, выражение для дивергенции (1.5.2) можно переписать в следующем виде:

. (1.5.4)

Пользуясь теоремой, о среднем и переходя к пределу, получим выражение дивергенции скорости в декартовых координатах

. (1.5.5)

В соответствии с формулой (1.5.5) дивергенция скорости может быть представлена как скалярное произведение символического вектора "набла" на вектор скорости