Динамическая метеорология (стр. 13 )

(2.5.1)

Определим среднее значение суммы двух функций и

или

В случае функций, имеем

(2.5.2)

Так как порядок операций осреднения и пространственного дифференцирования может быть изменен, то справедливы следующие соотношения

(2.5.3)

Среднее значение производных по координатам, равняется соответствующим производным от средних значений дифференцируемой функции.

Из соотношений (2.5.2) и (2.5.3) следует, что средние значения градиента, дивергенции, вихря и лапласиана от какой-либо функции равняются соответственно градиенту, дивергенции, вихрю и лапласиану от среднего значения данной функции:

; ; ; . (2.5.4)

Рассмотрим теперь отклонение от среднего значения функции

(2.5.5)

Применяя к этому выражению правило осреднения суммы или разности, находим

(2.5.6)

Среднее значение отклонения случайной функции равно нулю. Определим теперь среднее произведение двух функций и

Так как при осреднении второй и третий член дают нуль, то окончательно получим

(2.5.7)

Среднее значение произведения двух функций равняется произведению их средних значений плюс среднее значение из произведений их отклонений.

2.6. Уравнения осредненного движения турбулентной атмосферы

Вследствие беспорядочного характера турбулентного движения практически невозможно пользоваться мгновенными значениями истинных скоростей воздуха. Поэтому при исследовании турбулентных движений атмосферы обращаются к осредненным уравнениям движения.

Произведем осреднение первого уравнения движения вязкой атмосферы в напряжениях

(2.6.1)

Здесь проекции скорости, давление и плотность имеют мгновенные значения, складывающиеся из их средних значений и соответствующих пульсаций. Особенно большой величины достигают пульсации скорости ветра, в то время как пульсации давления ничтожно малы. По сравнению с давлением плотность воздуха имеет более значительные пульсации, но колебания плотности распространяются в пространстве со скоростью звука и почти не влияют на среднюю скорость основного движения турбулентной атмосферы. Поэтому, для упрощения выкладок при осреднении уравнений движения, будем рассматривать атмосферу как несжимаемую жидкость, для которой уравнение неразрывности имеет вид

Умножим уравнение неразрывности на проекцию скорости ветра и сложим его с уравнением движения (2.6.1), тогда получим

(2.6.2)

Представим теперь проекции , мгновенной скорости и давления в виде сумм средних значений и соответствующих пульсаций:

Учитывая соотношения (2.5.3) и (2.5.7) и усредняя уравнение (2.6.2), будем иметь

(2.6.3)

Перенося производные от средних значений из произведений составляющих пульсационной скорости , , , в правую часть уравнения и объединяя их с соответствующими производными от вязких напряжений, получим

но

,

так как согласно уравнению неразрывности

Аналогично, усредняя два других уравнения движения и обозначая через , и т. д. члены, содержащие средние значения из произведений пульсационных скоростей, называемые добавочными турбулентными напряжениями

(2.6.5)

получим уравнения Рейнольдса для усредненного движения турбулентной атмосферы

(2.6.6)

Уравнения (2.6.6) для усредненного движения турбулентной атмосферы отличаются от уравнений движения вязкой жидкости тем, что в уравнениях усредненного движения мгновенные составляющие скорости заменены их средними значениями, а к вязким напряжениям прибавлены дополнительные турбулентные напряжения. Чтобы выяснить физический смысл турбулентных напряжений, рассмотрим одно из них, например, турбулентное напряжение

Частица воздуха, движущаяся относительно основного потока с дополнительными составляющими скорости и , в каждый данный момент времени по отношению к окружающей среде обладает избытком или недостатком горизонтального количества движения, приходящегося на единицу объема, равного , а, перемещаясь с дополнительной скоростью , она будет переносить это количество движения в направлении оси . Поэтому произведение можно рассматривать как мгновенное значение количества движения , переносимого одной частицей воздуха в направлении оси через единичную площадку в единицу времени. Тогда среднее значение из произведений плотности на составляющие пульсационной скорости за некоторый период времени будет равно горизонтальному количеству движения, переносимому по вертикали через единицу площади за единицу времени всеми частицами воздуха, которые в течение периода осреднения пе­ресекали единичную площадку. Следовательно, турбулентное на­пряжение численно равняется взятому с противоположным зна­ком вертикальному турбулентному потоку количества движения

(2.6.7)

Таким образом, турбулентные напряжения выражают суммарный эффект воздействия беспорядочного движения множества частиц и вихрей воздуха на основное осредненное движение. Каждое турбулентное напряжение определяет турбулентные потоки составляющих количества движения переносимого пульсационными скоростями в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Перенос количества движения пульсационными скоростями сопровождается тенденцией к выравниванию в пространстве средней скорости основного движения и развитием силы внутреннего турбулентного трения.

2.7. Определение турбулентных напряжений

Для полного решения задачи о влиянии турбулентности на средние характеристики движения атмосферы нужно определить турбулентные напряжения и выразить их через составляющие средней скорости основного движения.

Определение турбулентных напряжений представляет сложную задачу и требует знания некоторых закономерностей пульсационного движения, характеризующегося скоростями .