Динамическая метеорология (стр. 6 )

Отвлекаясь от молекулярного строения воздуха и рассматривая его как сплошную среду, под частицей воздуха понимают очень малый объем по сравнению с общей протяженностью изучаемого движения, но достаточно большой по сравнению с длиной свободного пробега газовых молекул.

Рассмотрим внутри одной и той же движущейся частицы воздуха две бесконечно близкие друг к другу точки и (рис.8). Пусть координаты точки будут , а координаты точки .

Рис. 8

Скорости движения точек и являются функциями времени и координат. Предположим, что составляющие скорости точки известны и заданы уравнениями

(1.11.1)

Требуется определить составляющие скорости точки , для которых выполняются выражения общего вида

(1.11.2)

Если в некоторый момент времени скорость точки известна, то, разлагая скорость в окрестности точки в ряд Тейлора для данного момента времени, получим с точностью до бесконечно малых первого порядка следующие выражения для составляющих скорости точки

(1.11.3)

Прибавляя и вычитая в правой части первого уравнения величины и и группируя члены в полученном равенстве, имеем:

Второй и третий члены правой части полученного выражения равняются половине проекции на ось векторного произведения вихря скорости на радиус-вектор точки относительно точки

.

Аналогично, преобразуя два других равенства (1.11.3), получаем выражения для составляющих скорости любой точки воздушной частицы

(1.11.4)

Первые слагаемые , стоящие в правых частях полученных равенств, являются компонентами скорости переносного поступательного движения частицы, одинаковой для всех ее точек. Вторые слагаемые, являющиеся компонентами половины векторного произведения вихря скорости на радиус-вектор между точками и , определяют составляющие линейной скорости точки , возникающей в результате вращения ее вокруг точки с угловой скоростью, равной половине вихря скорости в точке . Остальные три слагаемые определяют составляющие линейной скорости точки , возникающей в результате сжатия или расширения воздушной частицы и изменение ее формы. Эти слагаемые называются скоростями деформации частицы воздуха.

Соотношения (1.11.4) выражают теорему Коши-Гельмгольца о разложении скорости частицы жидкости или газа и могут быть записаны в следующей векторной форме

(1.11.5)

Теорему Коши-Гельмгольца, в соответствии с формулой (1.11.5), можно сформулировать следующим образом: во всякий данный момент времени скорость любой точки бесконечно малой частицы воздуха равняется векторной сумме трех скоростей: 1) скорости одной какой-либо точки (полюс), характеризующей поступательное движение частицы; 2) линейной скорос­ти, обусловленной вращением этой частицы около оси, проходящей через точку , с угловой скоростью, равной половине вихря скорости точки ; 3) скорости деформации в точке , возникающей в результате изменения формы и объема частицы воздуха.

Деформация частицы жидкости или газа выражается более сложной величиной, чем обычный трехмерный вектор. Из соотношений (1.11.4) следует, что скорость деформации зависит от девяти величин, стоящих множителями при дифференциалах . Эти девять величин в совокупности образуют так называемый тензор скоростей деформации, который записывается в виде матрицы

(1.11.6)

Введя обозначения:

(1.11.7)

тензор скоростей деформации можно записать в сокращенном виде

(1.11.8)

Составляющие тензора деформации: называются скоростями сжатия или растяжения. Они определяют скорости сжатия или растяжения линий в направлении осей координат и, связанное с этим, относительное изменение объема частицы воздуха. Если составляющие скорости движения точек увеличиваются в направлениях соответствующих осей координат: (рис. 9а), то расстояние между точками увеличивается с течением времени, происходит растяжение линий и увеличение объема частицы. Если составляющие скорости движения точек уменьшаются в направлениях соответствующих осей координат (рис.9б), то происходит сжатие и уменьшение объема частицы.

a) Растяжение в направлении оси

б) Сжатие в направлении оси

Рис. 9

Составляющие тензора деформации:

называются скоростями скашивания прямых углов. Они характеризуют изменение формы воздушной частицы, обусловленное неравномерным распределением скоростей точек, расположенных в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Если в начальный момент времени четыре линии образуют в плоскости квадрат, то в результате скоса прямых углов квадрат преобразуется в ромб, стороны которого сохраняют первоначальную длину сторон квадрата, но длина диагоналей изменяется. Путем несложных преобразований можно показать, что изменение прямого угла за единицу времени определяется суммой производных , а относительное изменение длины диагонали равно половине изменения этого угла. Поэтому полученные формулы (1.11.7) для скоростей деформации скашивания прямых углов имеют вид: