Динамическая метеорология (стр. 12 )

где – плотность воздуха, – нормальная составляющая скорости, – элемент поверхности S.

С другой стороны, изменение количества жидкости внутри объема за единицу времени t выражается интегралом – . Так как изменение количества жидкости внутри объема должно равняться количеству жидкости, протекающей за то же время через поверхность S, то

Применяя формулу Остроградского-Гаусса:

,

приведем предыдущее уравнение к виду:
= -откуда

.

Так как объем произволен, то

(2.3.2)

Это соотношение и является уравнением неразрывности. Оно выражает закон сохранения массы и устанавливает связь между вектором скорости и плотностью воздуха.

Часто уравнение (2.3.2) представляют в другом виде. Запишем (2.3.2) в декартовых координатах

, (2.3.3)

или

,

откуда окончательно получаем

(2.3.4)

Формулы (2.3.2) и (2.3.4) – разные формы уравнения неразрывности с учетом сжимаемости воздуха.

Рассмотрим частные случаи уравнения неразрывности.

Если движение установившееся (стационарное), то и уравнение неразрывности принимает вид

(2.3.5)

В случае несжимаемой атмосферы, плотность которой является постоянной, уравнение неразрывности имеет вид

(2.3.6)

или в декартовых координатах

(2.3.7)

При движении некоторого объема, состоящего из одних и тех же частиц воздуха, сам объем может изменяться и деформироваться, но элементарная масса воздуха , содержащаяся в этом объеме, во все время движения остается постоянной, что выражается равенством

(2.3.8)

но , следовательно,

или

Относительное изменение величины элемента объема за единицу времени равно дивергенции скорости

(2.3.9)

Формула (2.3.9) представляет еще один вид уравнения неразрывности для сжимаемой атмосферы.

В сферических координатах уравнение неразрывности имеет вид

(2.3.10)

2.4. Начальные и граничные условия

Уравнения движения атмосферы совместно с уравнением неразрывности представляет замкнутую систему с числом неизвестных функций, равных числу уравнений в том случае, если рассматривать атмосферу как идеальный газ, плотность которого зависит только от давления

. (2.4.1)

Такая среда называется баротропной. Закономерности движения баротропной среды полностью определяются уравнениями движения и непрерывности (четыре скалярных уравнения для определения ).

Уравнения движения и неразрывности являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Для их решения должны быть заданы начальные и граничные условия.

Задание начальных условий состоит в том, что для определенного исходного момента времени во всех точках рассматриваемой части пространства должны быть известны значения искомых функций:

(2.4.2)

Вследствие влияния вязкости составляющие скорости движения воздуха на поверхности Земли обращаются в нуль, что дает три скалярных граничных условия. Если поверхность Земли задана уравнением , то граничные условия для скорости на поверхности Земли выразятся равенствами:

(2.4.3)

При решении многих задач атмосфера рассматривается как идеальная жидкость, т. е. силами вязкости ввиду их малости, пренебрегают. Тогда граничные условия сводятся к одному

при , (2.4.4)

где – составляющая скорости по нормали к земной поверхности.

Уменьшение числа граничных условий связано с тем, что система уравнений динамики идеальной атмосферы имеет более низкий порядок, чем уравнения динамики вязкой атмосферы.

Рис. 17

В соответствии с рисунком 17 граничное условие (2.4.4) можно переписать в следующем виде:

при .

Так как:

то граничное условие для скорости на поверхности Земли (2.4.4) принимает вид

при . (2.4.5)

Кроме граничных условий на поверхности Земли, задаются еще условия на верхней границе изучаемого слоя атмосферы или на очень большой высоте, имеющие характер условий на бесконечности.

2.5. Основные представления теории атмосферной турбулентности

Движения жидкостей и газов подразделяется на ламинарное и турбулентное.

Если движение жидкости происходит упорядоченно в виде не перемешивающихся между собой струй, то такое движение называется ламинарным. При сравнительно малых скоростях течения отдельные случайные возмущения потока под влиянием вязкости затухают, и течение сохраняет ламинарный характер.

При скорости потока, превышающей некоторое критическое значение, зависящее от физических свойств данной жидкости, отдельные случайные возмущения потока не затухают, а развиваются, при этом струи жидкости перемешиваются, разбиваются на множество вихрей, совершающих беспорядочное движение на фоне общего переноса, в результате этого ламинарное течение теряет устойчивость и приобретает турбулентный характер.

Турбулентным движением жидкости или газа называется такое движение, при котором на основной перенос накладывается очень сложное запутанное движение множества отдельных частиц и вихрей, движущихся по всевозможным направлениям с различными скоростями. При этом лишь средняя скорость течения сохраняет определенную величину и направление, в то время как каждая частица жидкости приобретает свою собственную добавочную скорость.

Характерной чертой турбулентных процессов, происходящих в реальных жидкостях и газах, является турбулентный обмен масс данной жидкости или газа и связанное с ним перемешивание. В реальных жидкостях зарождающиеся элементы турбулентности, проникая из слоя в слой, с течением времени перемешиваются с окружающей средой, что сопровождается турбулентной вязкостью, диффузией и теплопроводностью.

Для турбулентного движения характерны резкие беспорядочные колебания скорости, давления и плотности, которые называются пульсациями или флуктуациями.

Атмосферные движения, как правило, носят турбулентный ха­рактер, что наиболее резко проявляется в порывистости ветра.

В турбулентной атмосфере мгновенные значения метеорологических величин в каждый данный момент времени можно рассматривать как случайные величины, пользоваться которыми практически невозможно. Поэтому турбулентное движение атмосферы характеризуют средними значениями метеорологических величин, пользуясь статистическими методами исследования. При этом чаще всего метеорологические величины усредняют за некоторый отрезок времени, который должен быть достаточно продолжительным, для того чтобы полученное среднее значение было репрезентативным, чтобы оно не изменялось слишком быстро. С другой стороны, этот отрезок времени не должен быть и слишком большим для того, чтобы при усреднении не сгладились существенно важные изменения усредняемой величины. Среднее значение величины за отрезок времени выражается интегралом от как функции времени, взятым в соответствующих пределах и отнесенным к величине этого интервала времени . Обозначая среднее значение величины горизонтальной чертой над символом этой величины, будем иметь