Динамическая метеорология (стр. 26 )

получаем формулу Стефана-Больцмана или, обозначая ,

. (4.3.2)

Согласно формуле Стефана-Больцмана (4.3.2), полный поток черного излучения пропорционален четвертой степени абсолютной температуры.

Постоянная Стефана-Больцмана в формуле (4.3.2) .

4.4. Закон смещения Вина

Из формулы Планка (4.3.1) следует, что интенсивность монохроматического излучения обращается в нуль при и при . Так как интенсивность излучения не может быть отрицательной величиной, то в промежутке длин волн от 0 до должен существовать, по крайней мере, один максимум интенсивности излучения. Чтобы найти длину волны, соответствующую максимуму излучения при данной температуре, исследуем функцию на максимум. Дифференцируя формулу Планка (4.3.1) по , находим

.

Отсюда следует, что в точке экстремума должно быть

Это трансцендентное уравнение для величины имеет один корень, соответствующий максимуму излучения , отсюда . Подставляя численные значения постоянных h, и , получаем

. (4.4.1)

Исследуя знак второй производной, можно показать, что в указанной точке имеет максимум.

Формула (4.4.1) выражает закон смещения Вина: произведение длины волны, при которой черное излучение достигает максимального значения, на абсолютную температуру излучающего тела есть величи­на постоянная. С повышением температуры тела максимум энергии излучения его смещается в область более коротких волн.

4.5. Уравнения переноса длинноволновой радиации и их интегрирование

Потоки длинноволновой радиации в атмосфере в основном складываются из инфракрасного излучения Земли и атмосферы. Интенсивность солнечной радиации во всех частях спектра больше интенсивности излучения Земли и атмосферы, особенно велика интенсивность излучения Солнца в области коротких волн. Но солнечная радиация поступает в атмосферу из очень малого телесного угла, поэтому потоками длинноволнового излучения Солнца, по сравнению с излучением Земли и атмосферы, можно пренебречь.

Рассмотрим процесс распространения радиации через тонкий горизонтальный слой dz с плотностью поглощающего вещества .

Радиация, распространяющаяся вниз в направлении , в слое dz проходит путь, равный (рис.23).

Рис. 23

На этом пути за счет поглощения слоем dz радиации интенсивность ее уменьшится на величину , а за счет излучения данного слоя она увеличится на величину .

Для длинноволновой радиации эффект рассеяния очень мал и им можно пренебречь. Следовательно, интенсивность радиации, распространяющейся вниз в направлении ,будет удовлетворять уравнению

,

которое иначе может быть записано в следующем виде:

. (4.5.1)

Аналогично получается уравнение для интенсивности радиации, распространяющейся вверх

. (4.5.2)

В тропосфере и нижней части стратосферы можно с достаточной степенью точности применять закон Кирхгофа. Это соответствует предположению о локальном термодинамическом равновесии, т. е. условиям, при которых в системе, не находящейся в состоянии равновесия, излучение в каждом отдельном участке спектра близко к равновесному излучению при температуре, соответствующей рассматриваемой части системы. На основании закона Кирхгофа (4.2.1) имеем . Тогда уравнения переноса длинноволновой радиации (4.5.1) и (4.5.2) примут более простой вид:

(4.5.3)

Решение полученной системы уравнений (4.5.3) будем искать при следующих краевых условиях:

1. На очень большой высоте плотность поглощающего вещества (водяного пара) мала, так что интенсивностью длинноволновой радиации можно пренебречь:

, (4.5.4)

т. е. длинноволновая радиация не поступает извне.

2. На уровне z=0, за который принимается деятельная поверхность с коэффициентами поглощения и излучения , интенсивность радиации, распространяющейся вверх, должна быть равна сумме интенсивностей излучения деятельной поверхности и не поглощенной радиации, распространяющейся сверху . Так как

. (4.5.5)

Для решения задачи удобнее вместо переменной величины z пользоваться величиной u, полагая . Здесь du представляет собой массу поглощающего вещества в слое dz с единичным основанием. Тогда уравнения переноса длинноволновой радиации (4.5.3) принимают вид

(4.5.6)

Эти уравнения являются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями 1-го порядка, их общие решения, как известно, можно записать в следующем виде:

; (4.5.7)

. (4.5.8)

где ; .

Для определения произвольных постоянных интегрирования и используем краевые условия (4.5.4) и (4.5.5).

При , m=M. Тогда, согласно решению (4.5.8), имеем , но на основании краевого условия (4.5.4) .

При z=0, m=0. Тогда, согласно решению (4.5.7), , а на основании краевого условия (4.5.5) и полученного решения (4.5.8) имеем

.

Подставляя найденные значения для произвольных постоянных и в формулы (4.5.7) и (4.5.8), получаем окончательные выражения для интенсивности нисходящей и восходящей радиации с длиной волны и распространяющейся в направлении , соответственно вниз и вверх:

; (4.5.9)

(4.5.10)

Интегрируя полученные выражения для интенсивности монохроматической радиации по всем длинам волн , по и в пределах полупространства, в соответствии с формулой (4.1.5), получим полный поток длинноволновой радиации , направленный вниз, и полный поток длинноволновой радиации , направленный вверх: