Динамическая метеорология (стр. 14 )

Приближенное определение турбулентных напряжений основывается на аналогии между молекулярным и турбулентным движениями, а также на статистической теории турбулентности.

Рассмотрим основное установившееся движение со средней скоростью , направленное параллельно оси , и найдем приближенное выражение для турбулентного напряжения .

Через площадку , перпендикулярную оси , за единицу времени пройдет множество частиц воздуха, каждая из которых имеет дополнительные скорости и площадь поперечного сечения .

Обозначим общее число частиц, пересекающих площадку в единицу времени, через , тогда среднее значение из произведений составляющих пульсационных скоростей этих частиц будет равно

(2.7.1)

и турбулентное напряжение выразится формулой

(2.7.2)

Для любой частицы воздуха, движущейся с дополнительной скоростью вверх или вниз и пересекающей в данный момент времени горизонтальную площадку на уровне , всегда можно найти предшествующий момент времени , в который вертикальная скорость ее последний раз обращалась в нуль, а сама частица в этот момент находилась на уровне (рис. 18).

Рис. 18

Частицы, движущиеся вверх в предшествующие моменты времени , занимали более низкое положение , а частицы, движущиеся вниз, в эти моменты времени занимали более высокое положение .

В момент времени горизонтальная скорость частицы на уровне равняется

(2.7.3)

а перед этим на начальном уровне горизонтальная скорость ее была равна

(2.7.4)

где – пульсационная скорость частицы на начальном уровне .

Изменение горизонтальной скорости частицы за время будет равно или

(2.7.5)

откуда получаем следующее выражение для пульсационной скорости на уровне :

(2.7.6)

Разлагая среднюю скорость в ряд Тейлора по степеням , предположим, что разность настолько мала, что в разложении можно пренебречь членами второго и более высоких порядков малости, тогда .

В связи с этим пульсационная скорость , будет равна

(2.7.7)

Подставляя теперь из этого равенства в формулу (2.7.2) получаем следующее выражение для турбулентного напряжения :

(2.7.8)

При беспорядочном движении частиц воздуха в турбулентном потоке отдельные произведения принимают случайные, как положительные, так и отрицательные значения и при суммировании взаимно компенсируют друг друга. Поэтому последней суммой правой части выражения (2.7.8) можно пренебречь

Предпоследняя сумма зависит от изменения с высотой средней скорости основного движения и также приближенно равна нулю. Первая же сумма при турбулентном движении не обращается в нуль, все слагаемые этой суммы имеют только положительное значение. Чтобы убедиться в этом, все частицы воздуха, пересекающие в момент времени площадку , разделим на две группы: одни из них движутся вверх, а другие вниз. Для частиц, движущихся вверх, как вертикальная скорость , так и разность высот будут положительными, поэтому и произведение будет положительным. Для частиц, движущихся вниз, вертикальная скорость является отрицательной, но для этих частиц и разность высот будет отрицательной, а произведение имеет положительный знак. Следовательно, все слагаемые первой суммы в правой части уравнения (2.7.8) являются положительными.

Если последние две суммы правой части уравнения (2.7.8) обращаются в нуль, то для турбулентного напряжения получается выражение

(2.7.9)

Обозначим в правой части равенства (2.7.9) величину суммы, отнесенную к единице площади, через

(2.7.10)

Определяемая равенством (2.7.10) величина характеризует перенос количества движения и различных свойств воздуха в направлении оси в результате турбулентности. Она увеличивается с усилением беспорядочного движения частиц воздуха и называется вертикальным коэффициентом турбулентности.

Вводя коэффициент турбулентности, выражение (2.7.9) для турбулентного напряжения можно переписать в следующем виде:

(2.7.11)

Таким образом, турбулентное напряжение определяется аналогично молекулярному вязкому напряжению , которое в случае горизонтального движения при выражается формулой , и отличается от формулы (2.7.11) для турбулентного напряжения только тем, что в ней вместо коэффициента турбулентности стоит кинематический коэффициент молекулярной вязкости воздуха . Следовательно, между турбулентным и молекулярным движением существует аналогия, но эта аналогия является лишь внешней. Молекулярное и турбулентное движения имеют различную физическую природу. Кинематический коэффициент молекулярной вязкости воздуха не зависит от скорости течения, тогда как коэффициент турбулентности зависит от средней скорости основного движения и от расстояния до твердых тел, обтекаемых воздухом. При этом коэффициент турбулентности в десятки и сотни тысяч раз больше коэффициента молекулярной вязкости.