Динамическая метеорология (стр. 3 )

Пользуясь понятием потока и дивергенции векторного поля, формулу Остроградского-Гаусса (1.5.3) можно переписать в следующем виде:

.

Таким образом, теорема Остроградского-Гаусса показывает, что поток векторного поля скорости через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему , ограниченному поверхностью .

1.6. Циркуляция вектора скорости

Циркуляция скорости является скалярной величиной, характеризующей общую тенденцию частиц воздуха, лежащих на произвольном замкнутом контуре, двигаться вдоль этого контура. Циркуляция скорости выражается криволинейным интегралом по замкнутому контуру, взятому в движущемся воздухе, от скалярного произведения вектора скорости на направленный элемент контура .

(1.6.1)

где – проекция вектора скорости на направление касательной к контуру в данной точке.

Представляя скалярное произведение () в координатной форме, получим

(1.6.2)

где – проекции вектора скорости; проекции элемента контура на оси координат.

Если циркуляция скорости равна нулю, то подынтегральное выражение должно быть полным дифференциалом некоторой функции называемой потенциалом скорости, так что

.

Отсюда следует:

.

В этом случае скорость движения имеет потенциал, производные от которого по координатам равняются проекциям вектора скорости на соответствующие оси координат.

1.7. Вихрь скорости

Характеристикой вращательной способности поля скорости в данной точке может служить плотность циркуляции, т. е. предел отношения циркуляции вектора скорости по замкнутому контуру к площади, ограниченной этим контуром при стягивании его в точку

. (1.7.1)

В различных плоскостях, проходящих через данную точку поля, плотность циркуляции скорости будет иметь различную величину. В связи с этим выражение (1.7.1) для плотности циркуляции в произвольно выбранной плоскости , целесообразно преобразовать при помощи теоремы Стокса, выражающей криволинейный интеграл по замкнутому контуру через двойной интеграл по поверхности, ограниченной этим контуром

(1.7.2)

где – нормаль к поверхности , в которой лежит контур Согласно этой формуле выражение для плотности циркуляции (1.7.1) можно переписать в следующем виде:

. (1.7.3)

Введем для переменных величин, стоящих под знаком двойного интеграла (1.7.3), их средние значения по площади . Тогда, пользуясь теоремой о среднем, производя сокращения на и переходя к пределу, получим

(1.7.4)

Правая часть полученного выражения (1.7.4) является скалярным произведением некоторого вектора носящего название вихря скорости на единичный вектор нормали к поверхности

(1.7.5)

Следовательно, проекции вихря скорости на оси координат будут равны:

(1.7.6)

(1.7.7)

(1.7.8)

а сам вихрь скорости, как вектор, выразится формулой

(1.7.9)

В соответствии с формулой (1.7.9), вихрь скорости можно представить как векторное произведение символического вектора "набла" на вектор скорости

(1.7.9a)

Вводя вихрь скорости, формулу (1.7.4) для плотности циркуляции в заданной плоскости с нормалью можно переписать в следующем виде:

(1.7.10)

Отсюда следует, что через данную точку проходит одна определенная плоскость, в которой плотность циркуляции в данный момент времени имеет наибольшее значение, равное модулю вихря скорости в этой точке. Во всех остальных плоскостях плотность циркуляции будет иметь меньшую величину.

Чтобы выяснить физический смысл вихря скорости, рассмотрим элементарный объем жидкости или газа. Радиус вектор любой точки этого объема относительно начала координат будет иметь проекции на координатные оси, равные . Предположим, что выделенный объем вращается как твердое тело относительно начала координат с постоянной угловой скоростью . Тогда линейная скорость движения какой-либо точки выделенного объема будет равна векторному произведению угловой скорости на радиус вращения ,

(1.7.11)

Проектируя последнее равенство на оси координат, находим составляющие линейной скорости

(1.7.12)

В связи с этим составляющие вихря скорости по осям координат будут равны

(1.7.13)

следовательно, .

Таким образом, вихрь скорости равняется удвоенной угловой скорости вращения частиц жидкости или газа и является характеристикой вращательной способности поля скорости в данной точке.

В метеорологии чаще всего рассматривается вертикальная составляющая вихря скорости, выражающая вихревые свойства горизонтального поля ветра и определяемая формулой (1.7.8)

Заметим также, что формулу (1.7.2) выражающую теорему Стокса, можно записать в виде

Она показывает, что циркуляция скорости по какому-либо замкнутому контуру равна потоку вихря скорости через этот контур. Из этой же формулы вытекает, что, если движение воздуха является безвихревым, то циркуляция скорости равна нулю.

1.8. Натуральная система координат

Физический смысл дифференциальных характеристик двумерного поля скорости наиболее просто и наглядно выявляется, если рассматривать их в натуральных координатах.

Натуральной системой координат называется ортогональная, в общем случае криволинейная система отсчета, в которой координатными линиями являются линии тока и нормали к ним. В дальнейшем будем пользоваться правой системой координат, для которой кратчайший поворот от положительного направления к положительному направлению совершается влево.