Динамическая метеорология (стр. 11 )

В сферической системе координат сила тяжести в любой точке пространства направлена по радиусу-вектору .

Чтобы получить уравнения движения атмосферы в сферической системе координат, нужно векторное уравнение движения (2.2.6) спроектировать на оси сферической системы координат, т. е. на радиус-вектор , на касательную к параллели и касательную к меридиану .

Обозначим соответственно через единичные векторы радиуса-вектора , касательной к параллели и касательной к меридиану; тогда скорость частицы воздуха может быть представлена в виде

(2.2.7)

где есть проекции вектора скорости на оси сферической системы координат, выражаемые формулами:

(2.2.8)

Учитывая, что единичные векторы являются переменными по направлению, для производной по времени от вектора скорости, определяемого формулой (2.2.7), находим выражение

(2.2.9)

При увеличении угла единичный вектор будет поворачиваться в плоскости меридиана в сторону, противоположную первоначальному направлению единичного вектора с угловой скоростью, равной , а при увеличении угла он будет поворачиваться в сторону первоначального направления единичного вектора с угловой скоростью, равной (см. рис.16). Единичный вектор вращается в сторону, противоположную направлению единичного вектора внешней нормали к широтному кругу с угловой скорость .

Следовательно, для производных по времени от единичных векторов и , учитывая формулы (2.2.8), будем иметь следующие выражения:

Определим теперь производную , учитывая, что

Используя полученные выражения для производных по времени от единичных векторов, ускорение частицы воздуха , определяемое в сферических координатах формулой (2.2.9), можно представить в следующем виде:

или

(2.2.10)

откуда находим проекции ускорения на оси сферической системы координат

(2.2.11)

Проекции на радиус-вектор , касательную к параллели и касательную к меридиану градиента давления будут равны

(2.2.12)

Проекция вектора угловой скорости вращения Земли на оси , и равны:

(2.2.13)

Единичные векторы образуют левую систему координат, в которой сила Кориолиса выразится удвоенным векторным произведением вектора угловой скорости вращения Земли на вектор относительной скорости, взятым с положительным знаком, а проекции силы Кориолиса на оси , и будут равны:

(2.2.14)

Проекции силы тяжести на оси координат имеют вид

(2.2.15)

Проектируя на оси , и векторное уравнение движения атмосферы (2.2.6), пользуясь при этом полученными выражениями (2.2.11-2.2.14) и обозначая проекции силы вязкости на оси , и соответственно через будем иметь

(2.2.16)

Окончательно уравнения движения атмосферы в сферических координатах можно записать в виде

(2.2.17)

Первые четыре слагаемых, стоящие в левых частях каждого уравнения, являются составляющими ускорения Эйлера . Пятый и шестой квадратичные члены в левых частях уравнений определяют дополнительное ускорение, которое появляется относительно сферической системы координат. Оно обусловлено кривизной параллелей и меридианов, являющихся криволинейными координатными линиями.

2.3. Уравнение неразрывности

Три уравнения движения атмосферы в проекциях на оси координат содержат пять функций, зависящих от времени и координат: три проекции скорости на оси координат , давление и плотность воздуха . Имея три уравнения движения, при решении какой-либо задачи, число искомых функций может оказаться больше числа уравнений, в этом случае задача становится неразрешимой. Для ее решения требуется привлекать какие-то другие соотношения в качестве недостающих уравнений.

Одним из соотношений, дополняющих систему дифференциальных уравнений динамики атмосферы, является уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы и связывающее изменение плотности воздуха во времени с распределением скорости движения в пространстве.

Рассмотрим произвольный фиксированный объем в движущейся жидкости и обозначим через S поверхность, ограничивающую этот объем. Подсчитаем массу (количество жидкости), протекающую в единицу времени через поверхность S в направлении внешней нормали, то есть рассмотрим поток вектора :

, (2.3.1)