Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 10 )

Теперь детей не затруднит доказательство неравенства:

Пример 9. для положительных чисел a, b и c.

Решение получается из неравенства:

.

Пример 10. Доказать неравенство для положительных чисел x, y и z.

Ученик. Решение. Проведем анализ. Если обе части этого неравенства умножить на положительное выражение , то получим неравенство, равносильное данному:

.

Теперь это неравенство можно сравнить с неравенством Чебышева для последовательностей x, y,z и . Учитывая, что вторая последовательность будет невозрастающей, если таковой будет первая последовательность для положительных чисел x, y,z, делаем вывод, что условия неравенства Чебышева выполнены. Тогда доказательство выглядит так: из неравенства Чебышева следует неравенство

.

Откуда требуемое неравенство получается выполнением преобразований обратных тем, что были проведены при анализе.

IV. Упражнения на отработку умений и навыков использования классических и опорных неравенств при доказательстве неравенств и решению различных задач.

1.  Доказать неравенство для , используя различные способы доказательства, в частности неравенство трех квадратов, неравенство Чебышева, аналитико-синтетический метод.

2.  Используя неравенство Коши – Буняковского, доказать неравенство трех квадратов, обобщить его для произвольного натурального n.

3.  Используя неравенство Чебышева, доказать неравенство Коши – Буняковского для n=4 и для произвольного натурального n. (неубывающая, невозрастающая).

4.  Используя метод мажорирования и неравенство трех квадратов, доказать неравенство для положительных a и b.

5.  Используя неравенство Коши (и вторым способом, используя неравенство Коши – Буняковского), найти наибольшее значение выражения при условии, что .

Приводим для учителя первое доказательство. При имеем . принимает наибольшее значение тогда и только тогда, когда наибольшее. Из неравенства Коши следует, что:

Отсюда следует, что .

6. Используя неравенство Коши, доказать, что .

7. Доказать неравенства: а) ;

б)

в) для положительных a, b и c.

8. Найти наименьшее значение выражения при положительных a, b и c:

.

Ответ: 7,5. Указание: доказать, что .

9.  Используя метод специализации, доказать неравенство для y<x. Указание: использовать неравенство для положительных a и b.

10.  Для положительных a, b и c доказать неравенство:

.

Указание. 1 способ. Использовать неравенство Коши и неравенство трех квадратов.

2 способ. Использовать неравенство Коши – Буняковского и неравенство трех квадратов.

3  способ. Использовать метод специализации.

Решение. 1 способ. . Далее

складываем их и используем неравенство трех квадратов.

2 способ. Использовать неравенство Коши – Буняковского для

и

3 способ. Использовать для n>0 неравенство .

11. Для сторон треугольника a, b и c доказать неравенство:

Указание. Использовать подстановку

V. Подведение итогов занятия.

Слушаем детей об их впечатлениях, о применении методов, с которыми они познакомились и которые отработали во время уроков. Обращаем внимание учащихся на то, что существуют еще такого рода неравенства, которые будут изучены в дальнейшем. Также сообщаем детям, что следующие два урока будут посвящены решению неравенств, уравнений и систем с использованием классических неравенств и их применению в нестандартных ситуациях. Также будут найдены геометрические интерпретации некоторых классических неравенств.

VI. Домашнее задание.

1)  Проанализировать решение классных упражнений.

2)  Сумма пяти положительных чисел равна 25. Доказать, что их произведение меньше 3200. ( Указание. Использовать неравенство Коши для пяти чисел.)

3)  Доказать неравенство: при условии, что .

4)  Каковы должны быть размеры открытого бассейна данного объема V, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала?

5)  Найти наименьшее значение выражения

.

6) и - стороны треугольника, - площадь, - периметр. Доказать, что:

, , , , .

7)  Для и доказать неравенство .

8)  Для , таких, что доказать неравенство .

9)  Найти наибольшие значения выражений:

при ; для положительных .

10) В данный шар вписать цилиндр наибольшего объема.

Занятие 5 (2 часа)

Тема. Применение классических и опорных неравенств при решении уравнений, неравенств и их систем.

Дидактическая цель занятия. Выработать навыки применения классических и опорных неравенств при решении уравнений, неравенств и их систем. Продолжить выработку навыков применения метода мажорации при решении такого типа заданий. Учить применять свойства функций при решении уравнений, неравенств и их систем.

I. Проверку домашнего задания начинаем с подведения итогов выполнения домашних упражнений. Затем еще раз проговариваем классические и опорные неравенства, обращая внимание на условия, при которых в них будет выполняться равенство. Далее по записям, сделанным на доске заранее или по проекции на экране с помощью компьютерного мультимедийного проектора, комментируем доказательства некоторых неравенств, которые вызывали на предыдущих уроках затруднения или не получилось выполнить дома. Параллельно мы повторяем методику и приемы применения классических неравенств и, таким образом, проводя

II. Актуализацию опорных знаний учащихся, заканчивая которую решением уравнения и системы:

, .