Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 14 )

Учитель. При каких же условиях может выполняться равенство?

Ученик. Равенство может выполняться, если эти три точки лежат на одной прямой и точка А лежит между точками В и С.

Учитель. Как же в таком случае найти координаты искомой точки А?

Ученик. Их можно найти из условий: и BA + AC = BC. Откуда , то есть для любых .

Ответ: , .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Учитель просит детей дать геометрическую интерпретацию данному уравнению.

Дети, выделяя в каждом из подкоренных выражений сумму квадратов, получают:

.

Тогда равенство интерпретируют как AB + AC = BC, где A, B, C.

Далее, аналогичным образом находят: .

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение:

.

Решение.

Дети аналогичным образом дают интерпретацию каждого слагаемого, стоящего в левой части уравнения, и получают сумму расстояний между точками, которые обозначим как : MA + MB + MC + MD.

Учитель просит дать интерпретацию правой части уравнения.

Дети после непродолжительной работы дают ответ: 15 = АВ + СD. Тогда уравнение понимаем как геометрическое равенство: MA + MB + MC + MD = АВ + СD.

Учитель просит детей, проанализировав данную ситуацию, дать условия, при которых выполняется это геометрическое равенство.

Дети, вспоминая, что из неравенства треугольника MA + MB АВ, а MC + MD СD делают вывод, что MA + MB + MC + MD АВ + СD. И равенство возможно, если MA + MB = АВ и MC + MD = СD. То есть точка М лежит одновременно на прямой АВ и на прямой СD. Вывод: точка М есть точка пересечения прямых АВ и СD (диагоналей четырехугольника ACBD).

Из условий и дети пишут систему для нахождения искомой точки пересечения диагоналей, а именно: решая которую, находят

Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение: .

Решение.

Дети снова получают возможность дать геометрическую интерпретацию данного уравнения. Попытка представить левую часть уравнения как сумму расстояний от данной точки до двух других точек не приводит к результату, так как правая часть уравнения получается больше суммы полученных расстояний.

Учитель предлагает детям сравнить левую часть данного уравнения с выражением примера 1 и «увидеть», таким образом, геометрическую интерпретацию данного уравнения.

После этого дети пишут: . И выполняют соответствующий рисунок. Здесь ВD = = ;

= .

Учитель предлагает детям исследовать правую часть уравнения в контексте данной ситуации.

Дети убеждаются, что расстояние между точками В и С равно 7. И делают вывод, что точка D должна лежать на отрезке ВС.

«Ключевой» проблемой данной задачи является способ решения данного уравнения.

Дети могут предложить ввести систему координат, совместив начало координат с точкой А, ось OX совместить с лучом АС, а ось OY направить в верхнюю полуплоскость перпендикулярно оси OX. Далее решать эту задачу аналогично задаче 4.

Учитель должен поприветствовать такой подход и дать детям закончить решение. И если дети не найдут, то предложить использовать метод «площадей», сравнив площади треугольников ABD, ADC и ABC, учитывая, что точки B, D, C лежат на одной прямой.

Дети записывают: . , , . Из полученного уравнения дети находят искомый корень уравнения.

Ответ: .

Пример 8. Для любых положительных чисел a, b и c доказать неравенство:

.

Решение.

Дети легко «увидят» конфигурацию, аналогичную той, что была описана в предыдущем примере, с заменой сторон 3, х, 5 на, соответственно, а, b и с. Тогда неравенство трактуется как неравенство треугольника для точек B, C и D предыдущего рисунка. Что не требует доказательства. Равенство достигается в случае, если точки B, C и D лежат на одной прямой. Проведя исследование, аналогичное тому, что было выполнено при решении уравнения 7, применяя, например метод площадей, дети получат это условие: ab + bc = ac, или .

Пример 9. Решить систему уравнений: .

Решение.

В «лоб», конечно, после предыдущих примеров никто из учащихся не рискнет решать. Хотя, если найдутся желающие, можно предоставить им такую возможность. Дети «увидят», что из первого уравнения следует: точки с координатами лежат на одной прямой. Используя условие того, что три точки лежат на одной прямой, дети составляют систему, равносильную данной:

Решая ее, дети приходят к решению.

Ответ: .

Пример 10. Решить систему уравнений:

Решение.

Учитель просит детей дать геометрическую интерпретацию уравнений, легче всего начать со второго уравнения.

Учителю требуется, если дети не «увидят» того, что это уравнение представляет собой квадрат модуля некоторого вектора, обратить внимание детей на метод, применимый при решении уравнения примера 3.

Решение примера 3 дает основания интерпретировать второе уравнение как квадрат длины вектора, координаты которого равны (x;y;z). Обозначим его через . Тогда первое уравнение понимается как скалярное произведение вектора на вектор .

Вспоминая теорему о выражении скалярного произведения векторов через их длины, дети пишут равенство: . Отсюда дети делают вывод: Из равенства следует: . Так как , то . Из равенства находим: .

Ответ: .

Пример 11. Решить систему уравнений:

Решение.

Учитель просит детей, проанализировав условие, дать геометрическую интерпретацию каждого уравнения системы.

Дети, раскрыв скобки во втором уравнении системы, смогут выполнить логические преобразования по выделению суммы квадратов выражений. Второе уравнение перепишут так:

После этого дети напишут координаты соответствующего вектора, обозначив его, например, . И второе уравнение имеет вид: Теперь перейдем к интерпретации первого уравнения. «Бросается в глаза» линейная зависимость выражения, стоящего в левой части первого уравнения от координат вектора . Если дети выполнят соответствующие логичные преобразования, то могут прийти к уравнению Его можно переписать в «геометрическом» виде как , если принять, что вектор . То есть, уравнение равносильно системе относительно векторов и :