Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 5 )

Для овладения методом мажорации предлагаем для обсуждения в группах

Пример 4. Доказать неравенства:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) .

Думается, что нахождение нижней границы для суммы в неравенстве А не вызовет каких – либо затруднений у учащихся, так как выражение не превосходит любого из предыдущих слагаемых суммы. Поэтому, умножив количество слагаемых на , получим нижнюю границу этой суммы (миноранту), а именно .

В неравенстве Б, если дети будут рассуждать аналогично и назовут верхней оценкой каждого из слагаемых, получим для суммы мажоранту, которая превышает 2. Тогда дети попытаются (сами или учитель должен подсказать это) разбить сумму на несколько групп слагаемых и каждую из сумм оценивать отдельно. Так как 2 легко разбить на 1 и 1, то дети должны быстро догадаться разбить сумму на и . 1 будет мажорантой в каждой сумме, а 2 – мажоранта всей суммы.

В этом примере дети должны показать конструктивность мышления. А именно, увидеть, что , а . Затем, конечно, они должны, опираясь на монотонность функций y = и y = , обосновать справедливость этого. После этого, применяя свойство монотонности еще несколько раз, дети назовут 2 как мажоранту первого слагаемого, а 3 – мажорантой второго слагаемого, а 5 – мажоранта суммы.

Ученик. Найдем ОДЗ неравенства. . То есть, .

Несомненно, в этом примере дети должны опять же показать конструктивность мышления. А именно, чтобы можно было освободить слагаемые и от знаков корня, дети должны, вспоминая свойство корня , предложить к и прибавить неотрицательное выражение , тогда: (1), (2). Далее, дети должны оценить каждое подмодульное выражение, дабы освободить выражения от знака модуля. Имеем при ; при . То есть, (3). Складывая (1) и (2), учитывая (3), имеем:

.

VI. Упражнения на выработку навыков доказательства неравенств методом мажорации.

1.  Доказать, что ;

2. Сравнить и ;

3.  Доказать для положительных и неравенство

;

4. Доказать, что ;

Дополнительные упражнения.

А. Доказать, что ;

Б. Доказать для положительных ;

В. Для доказать

Приводим для учителя решение наиболее сложных заданий.

Задание 2. ;

Задание 3. Указание. Требуется увеличить подкоренные выражения соответственно на , и .

казание. Разбить сумму на 5 групп слагаемых и применить метод мажорации для каждой группы отдельно.

казание. Применить оценку , так как и аналогичные ей для оценки снизу каждого слагаемого; для оценки сверху каждого слагаемого использовать:

и аналогичные преобразования второго и третьего слагаемого. Далее использовать доказанное ранее левое неравенство.

окажем левое неравенство . Оно равносильно неравенству . Так как , а , то на основе свойства транзитивности для неравенств отсюда следует справедливость левого неравенства, так как по условию . Правое неравенство доказывается аналогично.

VII. Итог уроков.

Познакомились с новыми методами доказательства неравенств, которые при доказательстве многих утверждений в математике являются универсальными. Выработали навыки использования методов математической индукции и мажорации при доказательстве неравенств. Развивали конструктивное и логическое мышление.

VIII. Домашнее задание.

1.  Проработать суть метода математической индукции и метода мажорации по конспекту;

2.  Повторить методы, применяемые в классных упражнениях, при оценке выражений сверху и снизу; попытаться найти их запись в общем виде;

3.  Попытаться найти более точные оценки (где это возможно);

4.  Доказать следующие неравенства:

А.;

Б. Сравнить и ;

В. ;

Г. для ;

Д. ;

Е. ;

Ж. для ;

З. ;

И. Для последовательности доказать

;

К. ;

Л. Для доказать, что .

Занятие 3 (2 часа)

Тема. Решение уравнений, неравенств и их систем методом мажорации.

Цель занятия. Учить применять метод мажорации при решении уравнений, неравенств и их систем. Продолжить выработку навыков применения аналитико-синтетического метода и свойств функций при доказательстве неравенств и решении уравнений и их систем. Развивать интеллектуальные (исследовательские, конструктивные, аналитические) качества и интуицию детей, .

I. Проверка домашнего задания.

Заслушиваем отдельных учащихся о качестве выполнения домашних упражнений. Заслушиваем также комментарии нескольких детей к выполнению отдельных заданий, по которым возникли проблемы у учащихся. Обязательно даем возможность детям еще раз проговорить методику применения метода математической индукции и метода мажорации при доказательстве неравенств.

Приведем для учителя решение двух домашних упражнений.

Очевидно, при неположительных значениях неравенство верно. Для , откуда . Это видно из графических соображений. То есть, .