Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 17 )

f = = , если x ≠ -1.

Пример 4 . f = x-3. Найти f(x) , x≠1.

Учитель. Требуется, очевидно, вместо x подставить такое выражение, чтобы или t для простоты.

Ученик. Обозначим , тогда 2x = t x - t, x ( 2 – t )= - t, x = , t≠2. Тогда f(t)= == , f(x)= при x≠ 2.

Еще раз проговариваем с учащимися методику составления системы уравнений, зависящих от двух значений аргумента и методику решения уравнений методом неопределенных коэффициентов на примере уравнений:

a)  2 f(x) – 3 f ( x+2 ) = x . Ответ: f(x) = - x + 6.

b)  f( x ) + 2 f = 1 . Ответ : f(x) = , x≠ 0 .

Уравнение а) решаем методом неопределенных коэффициентов, а уравнение б) методом подстановок.

Возможно, второе уравнение кто - то из учащихся также предложит решить методом неопределенных коэффициентов. Эту идею стоит не только поприветствовать, но и обсудить. После обсуждения в группах учащихся приходим к выводу, что, хотя правая часть уравнения – целая функция, но искомая функция будет иметь вид f(x)=. Некоторые учащиеся могут по желанию провести решение таким методом, но со всеми учащимися это делать на данном этапе усвоения нецелесообразно.

Далее предлагаем детям выполнить самостоятельную работу, где мы должны увидеть, как дети усвоили методику решения простейших функциональных уравнений двумя методами:

1) - f(x) + 2f= x+1 , ответ: f(x)=

2) f( f(x+1) ) +2 f(x) = - x +3 ответ: f(x) = - x +1

После выполнения показываем решение обоих уравнений. Решение первого уравнения может быть представлено сразу целиком, а решение второго можно предъявлять постепенно, показывая рассуждение. Вот один из вариантов диалога:

Учитель. Каков вид правой части уравнения?

Ученик. Функция, стоящая справа - линейная, т. е. имеет вид a x + b.

Учитель. Попробуем угадать общий вид функции f(x).

Думается, что найдутся дети, которые сразу увидят это. Если нет, то сделаем совместно предположение, что f(x) имеет вид ax + b. Какие доводы подтверждают наше предположение?

Ученик. Мы видим выражение f(x+1). Оно будет иметь такой же вид и после замены x на x+1.

Учитель. А выражение f ( f(x+1) ) будет какого вида?

Ученик. Так как внешняя f имеет такой же вид, то f( f(x+1) ) будет иметь вид a x + b.

Теперь большая часть учащихся скажут, что 2f(x) , f( f(x+1) ) + 2 f(x) будут линейными функциями.

Учитель. Тогда предложите самостоятельно способ решения данного уравнения.

Ученик. Пусть f(x) = a x +b. Тогда f( x+1 ) = a ( x+1 ) + b = a x + ( a + b ); f ( f (x+1) ) = a ( ax + (a+b) ) + b = a²x + ( a² + a b + b ); f ( f (x+1) ) + 2 f (x) = a²x + ( a²+ab+b) + 2 ( ax+ +b ) = ( a² + 2a ) x + ( a² + ab + 3b ). Подставляя полученное выражение в уравнение, методом неопределенных коэффициентов найдем a, b и саму функцию f(x) :

(a²+2a) x + (a² +ab +3b ) = - x +3, откуда

f(x)=-x+1.

IV. Итоги занятия.

1)  Усвоили понятие функционального уравнения.

2)  Разобрались в подходах к решению таких уравнений

3)  Выработали некоторые навыки и умения решать такие уравнения (методом неопределенных коэффициентов и подстановок – сведением к системе уравнений) для уравнений с одной переменной.

V. Домашнее задание.

1) Пересмотреть внимательно материал, посвященный методам решения функциональных уравнений;

2) Решить уравнения:

a) f( 1+ 2x) = 3x²

б) f( x) – 2 f( 1- x) = 3x -2 ( решить двумя способами)

в) x f( x) + 2f =1 , ответ: f( x) =

г) f , ответ: f( x ) = - .

Резервные упражнения

1)  f

2)  f

3)  (x-2) f(x) + f

4)  f

5)  2 f.

Занятие 2 (2 часа)

Дидактическая цель. Познакомить учащихся с простейшими методами решения функциональных уравнений с несколькими переменными и функциями. Выработать навыки решения более сложных функциональных уравнений, решаемых элементарными методами.

Развивающая цель. Развитие исследовательских способностей учащихся в процессе решения уравнений, интуиции, причинно-следственных связей, умственных способностей учащихся.

I. Проверка домашнего задания.

Ученики с места сообщают результаты выполнения домашнего задания. В случае необходимости на доске воспроизводится решение наиболее сложных уравнений. Вместе с этим проверяем, правильно ли и полностью выполнили задание отдельные учащиеся. Выясняем и поясняем с места то, что, по мнению учеников, было не ясным и сложным.

II. Актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос.

1.  Дать определение функционального уравнения, целого функционального уравнения.

2.  Что называется решением функционального уравнения?

3.  Что значит решить функциональное уравнение, и какие существуют подходы к решению?

4.  Что такое частное, общее и полное решение, приведите примеры каждого из них.

5.  Назовите основные шаги в решении функционального уравнения, и какой из них самый сложный, обоснуйте это утверждение.

6.  Назовите известные Вам элементарные методы решения функционального уравнения.

7.  Скажите, в чем состоит каждый из них, ответ продемонстрируйте примерами.

На прошлом занятии и дома ученики решали уравнения методом рациональных подстановок составлением системы из двух уравнений. Уравнения содержали одну переменную. На этом занятии рассмотрим функциональные уравнения, которые содержат несколько переменных и даже функций. Рассмотрим также уравнения, приводящие к системе нескольких уравнений и те, решения которых удовлетворяют некоторым заданным условиям. Но методы решения не выходят за пределы программы 9 класса (т. е. не содержат элементов дифференциального и интегрального исчислений, теории пределов, применения метода математической индукции). Будут рассмотрены задания исследовательского характера.

III. Ознакомление учащихся с методами решения функциональных уравнений с несколькими переменными, требующими нескольких подстановок.

Пример 1. Коллективно решаем уравнение: f(x+y) = f(x) + y, где x, y любые.

Чтобы свести уравнение к уравнению с одним переменным, положим, что x=0, так как равенство верно при любых действительных x и y. Отсюда f(y)=y+f(0). (Заметим, что, если кто-то из учащихся предложит заменить y нулем, то это не приведет к результату, так как тогда получим тождественное равенство f(x)=f(x), но произвольная функция не является решением). Подставляя найденное выражение для f в уравнение, находим, что f(0) может быть любым действительным числом.

Ответ: f(x)=x+a, a.

Пример 2. Решить уравнение: f(x+y)+2f(x-y) =3f(x) - y, где x, y - любые действительные.

Чтобы исключить одну из переменных и получить уравнение с одним переменным, положим, что x=0. Получим, f(y)+2f(-y)=3f(0)-y. Теперь заменяя y на –y имеем f(-y)+2f(y) =3f(0)+y. Решая полученную систему, находим f(y)=y+f(0). Проверка показывает, что f(0) может быть любым действительным числом.

Ответ: f(x)=x+a, a.

Пример 3. Решить уравнение: f(x+y)+f(x-y)=2f(x)Cosy, x, y.

Замена y на дает уравнение с одним неизвестным

f(x+) + f ( x - ) = 0.

Заменяя x нулем, также имеем уравнение с одним неизвестным:

f (y) + f (-y) = 2 f ( 0) Cos y,

или, переходя к переменной x, f (x) + f(-x) = 2 f(0) Cos x;

Заменяя x на x+, а y на , имеем