Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 9 )

Упражнение 1. Доказать неравенство Коши для n=4, то есть для положительных a, b, c, d доказать, что

.

Упражнение 2. Доказать неравенство Коши для n=3, используя результаты упражнения 1.

Упражнение 3. Доказать неравенство Коши для n=8,16, …, , используя упражнение 1.

Упражнение 4. Доказать неравенство Коши для любого натурального числа n< при любом используя метод упражнения 2.

Думается, что найдутся дети, а если нет, то с помощью учителя восстанавливаем решение упражнений.

Решение упражнения 1. Сведем неравенство Коши для n=4 к неравенству Коши для n=2.

.

Заметим только, что мы использовали здесь возрастание функции y=.

Решение упражнения 2. Положим в доказанном неравенстве Коши для n=4 вместо d выражение . Тогда получим:

или .

Возведем обе части полученного неравенства в четвертую степень. Используя возрастание функции y= при положительных x, имеем после преобразований: , что и требовалось доказать.

Далее с детьми замечаем, что из результатов упражнений 1-4 следует, что неравенство Коши справедливо при любом натуральном n.

Учитель. Неравенство (3) называется неравенством трех квадратов. Из неравенства Коши для двух чисел следует неравенство, которое часто применяется в математике, для

для x>0 назовем неравенством для обратных величин. Неравенство трех квадратов и неравенство для обратных величин часто являются опорными при решении различных задач и, в частности, при доказательстве неравенств. Например, неравенство является следствием неравенства трех квадратов, полагая в нем c=1.

При решении проблемной задачи 1 мы получили утверждение, которое является следствием неравенства Коши. Сформулируем его и еще одно, которое дополняет его.

Следствие 1. Если сумма положительных чисел постоянна, то их произведение наибольшее, когда числа равны между собой.

Следствие 2. Если произведение положительных чисел постоянно, то их сумма наименьшая, когда числа равны между собой.

III. Решение ключевых задач темы. Овладение методом.

Многие неравенства являются следствием записанных ранее классических неравенств для специальным образом подобранных величин, входящих в классические неравенства. Поэтому метод доказательства имеет такое название.

Пример 1. Доказать неравенство для неотрицательных a, b,и c:

.

Ученик. Решение. Сравнивая доказываемое неравенство с неравенством трех квадратов, делаем вывод о том, что если в последнем сделать замену на , на и на , то получим требуемое неравенство.

Учитель. Попробуйте подобрать соответствующую замену для доказательства неравенства:

Пример 2. Доказать неравенство для .

Ученик. Решение. Если положить в неравенстве трех квадратов , тогда получим:

,

откуда имеем требуемое неравенство.

Пример 3. Доказать, что при верно неравенство: .

Ученик. Решение. Если 3 перенести в знаменатель левой части неравенства, то увидим слева левую часть неравенства Коши для трех слагаемых. Если в нем положим и умножить обе части неравенства Коши на 3, то получим: . Что и требовалось.

Пример 4. Доказать справедливость неравенства:

для .

Некоторые учащиеся предложат выражения, стоящие в обеих скобках в левой части неравенства оценить снизу, применяя к ним неравенство Коши для двух слагаемых, учитывая, что все они неотрицательны. Предоставим возможность им это сделать. После того, как дети убедятся в том, что требуемое таким образом не получается, возможно, найдутся дети, которые предложат рассмотреть как сумму трех слагаемых , и применить к ним неравенство Коши для n=3. Выражение же во вторых скобках оценивается, используя неравенство Коши для n=2. Перемножая полученные неравенства, имеем требуемое неравенство.

Пример 5. Доказать, что если то .

Учитель. Попробуйте проанализировать условие и заключение этого утверждения.

Ученик. - утроенное среднее арифметическое x, y и z. - утроенный квадрат среднего квадратичного x, y и z. Доказательство. Запишем неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным для трех чисел x, y и z:

,

откуда . Что и требовалось доказать.

Пример 6. Доказать, что для положительных чисел a, b и c, для которых выполнено a + b + c = 1, выполняется неравенство:

Учитель. Попробуйте проанализировать неравенство.

Ученик. Слагаемые, стоящие в левой части неравенства, получаются при извлечении квадратного корня из выражений, стоящих справа в неравенстве Бернулли.

Учитель. Проанализируйте, пожалуйста, можем ли мы использовать неравенство Бернулли?

Ученик. Так как функция y= - возрастающая функция при x>0 и в нашем случае обе части в неравенстве Бернулли положительны, то из неравенства Бернулли следует: .

Далее нужно дать детям некоторое время, пока они дойдут до мысли, что нужно принять в неравенстве Бернулли n=2, а не 4.

Ученик.

, так как a>0. Аналогично , . Складывая полученные неравенства, получим:

.

Пример 7. Доказать для a>-0,2 , что .

Ученик. Решение. Проведем анализ. Если представить , то можно оценить слагаемые, стоящие в левой части неравенства, используя неравенство Бернулли для и соответственно. Имеем доказательство: . Складывая полученные неравенства, имеем требуемое неравенство. Так как функция y= для 0<p<1 определена при , то условие a>-0,2 выполнено.

Пример 8. Доказать для положительных чисел a, b и c неравенство:

.

Ученик. Решение. Проведем анализ. Возведем обе части неравенства в квадрат. Получим:

.

Сравнивая полученное неравенство с неравенством Коши – Буняковского видим, что если представить 2+b = , а , то получим доказательство:

используя неравенство Коши – Буняковского для n=3 и чисел , имеем

.

Теперь доказываемое неравенство получается из этого извлечением квадратного корня из обеих частей полученного неравенства и того факта, что функция y= возрастает на области определения.