Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 11 )

Решение.

Думается, что найдутся дети, которые вспомнят метод мажорации и его применение при решении уравнений, неравенств и систем. Вспоминаем также, доказанные ранее, неравенство для обратных величин и неравенство трех квадратов:

, .

Ученик. Оценим значения выражения , применяя неравенство для обратных величин. Заменяя в нем на , имеем: . Выражение же принимает значения, не большие 2, так как . Поэтому равенство возможно лишь при условии, что - корень уравнения.

Ученик. Полагая в неравенстве трех квадратов, и сравнивая условия системы, приходим к выводу, что

,

а отсюда следует, что система имеет решения при условии, что . Из исследования, которое было проведено при доказательстве неравенства трех квадратов, следует, что равенство возможно лишь при равенстве и . Откуда или . Таким образом, решением данной системы будут две тройки чисел:

или .

III. Примеры применения классических неравенств при решении уравнений, неравенств и их систем.

Пример 1. Решить уравнение:

.

Решение.

Значения выражения дети оценят без проблем, а именно,

.

При попытке оценить множество значений выражения известными методами, дети делают вывод, что нужный результат не получается. А именно, областью допустимых значений последнего выражения будут числа , поэтому , . Тогда . Но >2!!! Некоторые дети, конечно, могут заметить, что при значение выражения также равно 2, то есть, число 3 является корнем уравнения, но не больше.

Учитель обращает внимание детей на то, что выражение представляет собой удвоенное среднее арифметическое выражений и . Также замечаем, что сумма квадратов этих выражений, дает конкретное число! Тогда учитель просит детей вспомнить классическое неравенство, позволяющее сравнить среднее арифметическое двух чисел с их средним квадратическим, а именно

.

Дети после этого легко оценивают значения выражения . А именно

, то есть, .

После этого дети легко делают вывод, что корень единственный.

Пример 2. Решить неравенство .

Решение.

При внимательном рассмотрении выражений, стоящих в данном неравенстве, дети могут заметить повторение ситуации предыдущего примера. А именно, слева стоит удвоенное среднее арифметическое и , а справа – их удвоенное среднее квадратическое.

Учитель просит детей проанализировать сложившуюся ситуацию.

Ученик. Так как среднее арифметическое двух чисел не превосходит среднего квадратического этих чисел, то неравенство выполняется всегда, за исключением того случая, когда среднее арифметическое равнее среднему квадратическому. А это будет в случае равенства чисел. Выясним это, если решим уравнение =. Откуда, ОДЗ и . Ответ:

Пример 3. Решить систему уравнений на множестве положительных чисел.

Решение.

Вначале предоставляем детям возможность попытаться решить систему стандартными методами. Затем предлагаем детям проанализировать систему, обратить при этом внимание на выражения, из которых составлена система, и оценить возможные значения этих выражений.

Ученик. - утроенное среднее арифметическое выражений . - учетверенное среднее арифметическое выражений Выражение является составной частью как среднего геометрического , так и

Учитель. Попробуйте, применяя неравенство Коши, оценить возможные значения выражений.

Ученик. . Так как =12, то . . Так как = , то 8. Из того, что и 8, следует, что =8. Отсюда и из того, что , следует, что =. Но мы знаем, что в неравенстве Коши равенство имеет место в случае равенства чисел. Поэтому, .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Ученик. Уравнение имеет смысл при следующих условиях: Решим эту систему. Получим .

Далее дети пытаются провести оценку значений всех выражений, входящих в данное уравнение, стандартным методом без использования классических неравенств и получают следующее. = ; так как при функция возрастающая и , то ; а так как функция также возрастает на области определения, то . Аналогично, , так как функция убывающая на промежутке и . Поэтому . При этом = . Но .