Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 3 )

Учитель. Попробуйте проанализировать справедливость этого неравенства при любых значениях переменных а и в (самостоятельно).

Учитель. Исследуйте, пожалуйста, условия, при которых будет выполняться равенство.

Ученик. Очевидно при равенстве аиb.

Пример 7. Доказать неравенство для <a2<a3; <b2< и для at >a2>a3; >b2 >b3

Решение.

Учитель. Попробуйте начать анализ.

Ученик. Умножим обе части неравенства на 9, получим равносильное неравенство:

Вычеркнем с обеих частей неравенства выражение . Получим равносильное неравенство

(*)

Учитель. Сможете теперь «увидеть» доказательство?

Ученик. Анализируя условие <а2< а3; и at > a2 > a3; > b2 > b3, делаем

вывод, что и имеют один и тот же знак; аналогично а2 - а3 и b2 - b3, а также

а1 - а3 и - b3. Откуда их произведение положительно, то есть >0

(a2 - a3 )( b2- b3 ) >0, (al - a3 ) ( - b3 ) >0. Легко видеть, что если сложить эти три неравенства, получим неравенство (*). То есть, это неравенство, а также и требуемое - доказано.

Пример 8. Доказать неравенство:

Решение.

Ученик. Проведем анализ.

Как и в предыдущем неравенстве, если раскрыть скобки слева и справа, то произведения квадратов переменных с одинаковыми индексами «уйдут». Оставшиеся слагаемые можно сгруппировать по группам индексов. Например, в первую группу можно «собрать» слагаемые с индексами 1 и 2, во вторую - с индексами 2 и 3, а в третью - с индексами 2 и 3. Выпишем, например, слагаемые первой группы:

.

Легко видно, что его можно представить в виде квадрата: . Остальные

аналогично. Тогда имеем сумму квадратов:

Теперь доказательство провести несложно. Так как полученная сумма квадратов неотрицательна, то, раскрывая скобки и выполняя обратные преобразования к тем, что были проведены при анализе, получим доказываемое неравенство.

Учителю следует попросить детей (это будет необходимо в дальнейшем) исследовать условия, при которых в данном неравенстве будет достигаться равенство.

Ученик. Равенство будет достигаться в том и только в том случае, если одновременно ===0. То есть, в случае .

Далее целесообразно для отработки навыков дать детям самостоятельную работу. Если потребуется, можно провести обсуждение решения некоторых неравенств всем коллективом или в группах.

1)  Доказать, что а2 + 2 >0;

2)  Доказать, что a2 +ab + b2 >0;

3)  Доказать, что а4 +а2 -6а + 10 >0;

4)  Доказать, что >0 при условии, что а > b > -5;

5) Доказать, что 0 при условии, что a0,b0,ab;

6) Доказать неравенство: для положительных чисел и .

7) (Более сложное). Доказать, что для положительных а, и с:

а3 +3 +с3 > Зас.

Указание. Использовать тождество a3 +b3 +c3 -3abc=

(а + + c).

8) Числа а, , с и такие, что а2 + 2 = 1, с2 + d2 = 1. Доказать, что .

После обсуждения доказательства неравенств самостоятельной работы, подводим

IV. Итог уроков. Усвоили суть аналитико-синтетического метода доказательства неравенств. Выработали некоторые навыки поиска преобразований, приводящие доказываемое неравенство к очевидному неравенству при данных условиях или без таковых. Научились правильно записывать доказательство. Развивали конструктивные и логические способности.

V. Домашнее задание.

Доказать неравенства:

1) a2 +b2 + 1 >ab + a + b

2) 4-4а3 +5а2 -4а + 1>0

для положительных а, и с: a + b + с

4) 

5)  -х5 +х4 - х3 + 1>0

6)  2а2 +5 6а0

7)  для положительных а, , с и действительных х, у и z если ах + by + cz= 0, то

Занятие 2 (2 часа)

Тема. Доказательство неравенств методом математической индукции и методом мажорации (усиления).

Дидактическая цель. Показать учащимся применение метода математической индукции и метода мажорации (усиления) при доказательстве неравенств. Выработать у них соответствующие навыки. Продолжить выработку навыков применения аналитико – синтетического метода при доказательстве неравенств.

I. Проверка домашнего задания.

В начале заслушиваем отчеты детей по выполнению ими домашнего задания, фиксируем задания, которые вызвали затруднения, и выясняем причины этих затруднений. Помогаем разобраться в их причинах. Просим одного из учащихся проговорить доказательство одного из домашних неравенств аналитико - синтетическим методом. Если необходимо, восстанавливаем доказательство неравенств, которые не получились, в процессе диалога с учащимися. Приводим для учителя доказательство наиболее сложных неравенств.

Неравенство 3. Анализ. Умножим обе части неравенства на положительное выражение . Получим равносильное неравенство . Соберем все слагаемые в одной стороне Попытаемся выделить квадраты двучленов. Чтобы рассматривать каждое слагаемое, стоящее в левой части неравенства со знаком минус, как удвоенное произведение, умножим обе части неравенства на 2. После группировки и соответствующей замены получим:

.

Анализируя последние шесть слагаемых, делаем вывод о том, что они дают в сумме

.

Это делает последнее неравенство очевидным. Доказательство неравенства 3 получим отсюда, если выполним преобразования, обратные тем, что были выполнены при анализе.

Неравенство 5. Анализ. Разности и будут положительными при и при . Поэтому доказательство неравенств в этих случаях очевидно. При и при получим . То есть, в этих случаях доказывать нечего. При выражения и тоже положительны, как и . То есть, и в этом случае неравенство очевидно.