Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 2 )

Множество Р значений переменных называется множеством истинности для неравенства А>В, если для значений переменных, входящих в данное неравенство, из множества Р неравенство А>В истинно.

Тогда А>ВС>D, если множество Р истинности неравенства А>В содержится во множестве истинности неравенства С > D.

Если множества истинности неравенств А>В и С > D совпадают, то неравенства А>В и С > D называются равносильными (пишем А>В С> D).

Заметим, что два неравенства могут быть равносильными на одном множестве и не равносильными на другом. Например, неравенства

X2 ≥ 0 и X ≥ 0

равносильны на множестве неотрицательных чисел и неравносильны на множестве всех действительных чисел.

Упражнение 2.

А) Верно ли, что при a>b:

-a>-b,

2a+1>2b+1,

-3a-2<-3b-1,

6a>5b.

Б) Равносильны ли неравенства:

x3 >x-2 и x3+2>x;

3x≤2 и 3x+≤ 2+;

3x>2 и -3x+<-2+;

3x>4 и 15x>20;

3x<4 и ;

В) Заменить неравенство равносильным:

; ; .

II. Восприятие и усвоение метода.

Пример 1. Доказать, что при a<b и a<с верно неравенство

a2+bc > ab+ac.

Решение.

Ученик. По определению неравенства > рассмотрим разность левой и правой части неравенства: a2+bc–ab–ac. Нам требуется доказать, что эта разность положительна. Проанализируем условие: так как a<b и a<с, то разности a-b и a-с отрицательны. Чтобы использовать условие, выделим в выражении a2+bc–ab–ac эти разности. Судя по степеням а, требуется разложить эту разность на множители. После преобразований, используя способ группировки, ученик получает произведение (a-b)(a-с). Данное произведение положительно, поэтому неравенство доказано.

Учитель. При доказательстве неравенства мы преобразовали данное неравенство к виду a2+bc–ab-ac>0, а затем привели его к виду (a-b)(a-с)>0. Эта часть решения называется анализом Эвклида, который впервые начинал поиск доказательства с преобразования данного неравенства. Тогда доказательство выглядит так. Так как a<b, то a-b<0. Так как a<с, то a-с<0. Умножим обе части неравенства a-b<0 на отрицательное число a-с, то получим (a-b)(a-с)>0. Последнее неравенство равносильно неравенству a2+bc > ab+ac и, таким образом, доказательство закончено.

Таким образом, если обозначить утверждение, содержащееся в данном неравенстве, через А1, а утверждения, получающиеся при преобразованиях данного неравенства таких как перенесение слагаемого из одной части неравенства в другую, умножение или деление обеих частей неравенства на число или выражение с переменной, потенцирование или логарифмирование обеих частей неравенства и т. д. через А2, А3, … ,Аn, то целью анализа является поиск такой логической цепочки преобразований, чтобы утверждение Аn стало очевидным при данных условиях. Тогда вторая часть решения - доказательство - состоит в обосновании справедливости того, что из Аn Аn-1, Аn-1 … A1. При этом в утверждения Аi могут входить дополнительно очевидные неравенства, ранее доказанные неравенства и известные математические факты. Упражнение 1 показывает необходимость выделения этих двух частей при решении такого рода упражнений. Вторая часть решения при этом называется синтезом.

Дети могут вспомнить, что такого рода задачи им встречались при решении задач на построение в геометрии, где решение заканчивалось исследованием. Учитель может заметить, что исследование часто будет присутствовать, когда мы будем доказывать нестрогие неравенства, тогда нужно исследовать условия, при которых будет достигаться равенство.

Пример 2, который решаем коллективно.

Доказать, что при а>-1 верно неравенство:

2+а3>а+а2.

Решение.

Анализ.

Ученик. Чтобы использовать в последствии условие а>-1, выделим в выражении, которое получится в левой части неравенства, после того как мы «соберем» там все слагаемые, выражение а+1. Дети после выполнения преобразований получат (а-1)2(а+1)> -1.

Учитель. Можно ли закончить анализ? Виден ли ход доказательства?

Ученик. Да, конечно. Выражение (а-1)2 неотрицательно, то есть (а-1)2 0. Из условия а>-1 следует, что а+1 положительно, т. е. а+1>0. Умножая обе части неравенства (а-1) 0 на положительное выражение а+1, получим (а-1) (а+1)0. Но 0 > -1, поэтому (а-1)2(а+1)> -1. После раскрытия скобок элементарными преобразованиями неравенство легко привести к доказываемому и, таким образом, неравенство доказано.

Пример 3 даем с той целью, чтобы дети в простом случае проделали обе части решения самостоятельно. Думается, что это не вызовет особых затруднений.

Пример 3. Доказать неравенство а2-а+1<в(в-1) при условии, что а и в отрицательны и а > в+1.

III. Упражнения на «отработку» отыскания преобразований (анализ)

и проведения доказательства (синтез).

Замечание для учителя. Следующие примеры являются пропедевтическими для уроков, посвященных классическим неравенствам.

Пример 4. Доказать, что при всех действительных значениях переменных, верно неравенство:

Анализ.

Ученик. Анализируя данное неравенство, замечаем, что оно содержит элементы выражений , а точнее половину их суммы.

Учитель. Достаточно ли этого, чтобы провести доказательство?

Ученик. Да!

Доказательство.

Неравенства верны при любых действительных значениях переменных а, в и с. Складывая их, получим верное неравенство

2а2+2в2+2с2-2ав-2вс-2ас 0.

После деления обеих частей неравенства на 2, уединяя квадраты переменных в левой части неравенства, получим равносильное неравенство, которое и требовалось доказать.

Учитель. Исследуйте, пожалуйста, при каких условиях в данном неравенстве достигается равенство, и скажите, где это может быть полезно и необходимо?

Ученик. В неравенстве может достигаться равенство в том и только в том случае, если все три квадрата равны нулю, а это в свою очередь, будет выполняться в том и только в том случае, если все три переменные равны между собой.

Учитель активизирует учащихся на создание ситуации, когда необходимо решать эту задачу, напоминая, если это необходимо, задачу о наибольшем значении функции, где нужно не только оценить эту функцию сверху или снизу, но и показать, что это значение достигается. Можно вспомнить задачу о наименьшем числе выстрелов, которые требуется произвести, чтобы «ранить» четырехпалубный корабль в игре «морской бой» и другие задачи, где надо найти наибольшее или наименьшее значение величины. Напомним, что к такого рода задачам мы еще вернемся. В этой же ситуации можно задачу сформулировать так: если дано значение одного выражения из тех, что стоят в неравенстве, а надо указать наименьшее или наибольшее значение второго, то нужно не только доказать это неравенство, но и указать значения переменных, входящих в данное неравенство, при которых эти выражения равны.

Пример 5. Доказать неравенство для неотрицательных значении и :

.

Замечание для учителя. Здесь решение можно провести как, выделяя анализ и синтез, так и выполняя равносильные переходы. В последнем случае запись решения может быть очень короткой:

Последнее неравенство очевидно. Обсуждение решения дети могут провести самостоятельно в парах, оно затруднений не вызывает.

Пример 6. Доказать неравенство для неотрицательных чисел:

Решение.

Дети могут точно также предложить короткое решение:

Учителю следует попросить детей доказать равносильность первых двух неравенств. Дети после обсуждения в группах приходят к выводу, что они равносильны для неотрицательных чисел.