Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 18 )

f ( x +π ) + f (x) = 2 f ( x +) Cos = 0;

Заменяя x на , а y на y + , имеем:

f ( y +π) + f (-y) = -2 f ( ) Sin y,

или f ( x+π ) + f ( - x) = - 2 f ( ) Sinx.

Имеем систему:

После исключения f( x+π) и f (x):

f (x)= a Cos x + b Sin x, где а = f (0) , b = f ().

Подставляя полученное выражение для функции f (x) в уравнение, видим, что равенство (функциональное уравнение) верно при любых действительных a и b.

IV. Выработка и усвоение умений и навыков решения уравнений, требующих нескольких подстановок и дополнительного исследования.

Для развития интуиции при выборе подстановок, выработки некоторых умений и навыков, предлагаем решить уравнения.

Пример 4. f ( x+ y ) – f ( x - y ) = 2 f ( x+ ) Sin y,

Решение.

Ученик. Полагая x=0, имеем уравнение с одним переменным y: f ( y ) – f ( - y ) = 2 f ( ) Sin y. Требуется далее сделать в данном уравнении такие замены x и y, чтобы в полученном уравнении имелось значение f ( y ) либо f ( - y ).

Учитель. Верно, попробуйте придумать такие замены!

Ученик: x → y +, y → !! Имеем уравнение:

f ( y ) + f ( y + ) = 2 f ( y ) Sin f ( y ) + f ( y + π ) = 0.

Чтобы иметь решаемую систему, требуется придумать такую замену, чтобы уравнение содержало - y и y – π. Такой заменой, очевидно, будет: x → , y → y + , тогда f ( y + π ) – f ( - y ) = 2 f ( π ) Cos y.

Получим систему:

Из системы находим:

f ( y)=

Подстановкой в первоначальное уравнение убеждаемся, что найденная функция является решением функционального уравнения при любых действительных a и b, т. е. имеем частное решение функционального уравнения.

Следующий пример показывает, что наряду со знанием общих подходов, при решении функциональных уравнений необходима недюжинная сообразительность и догадка.

Пример 5. f ( x³ - y³) = , для любых действительных .

Решение.

Стандартные подстановки, необходимые для того, чтобы данное уравнение превратить в уравнение с одним неизвестным, равносильное данному, ни к чему не приводят.

Пусть x = y = 0. Тогда

f ( 0 ) = ³ .

Теперь необходимо придумать такую подстановку, чтобы x + y→ 0,

x³ - y³ → x. Из первого следует, что y = - x, из второго - что 2x³ → x. Искомой заменой будет x → y = - . Тогда f ( x ) = ³ = . Проверка подтверждает полученный результат.

Ответ: f (x ) ≡ 0, f ( x ) ≡ 1, f ( x ) ≡ -1.

Следующий пример показывает, что иногда требуется проводить нестандартные исследования.

Пример 6. .

Решение.

Так как это уравнение с одной переменной, то решение вроде-бы удается получить стандартным образом. Но подстановка = t приводит к довольно громоздкому выражению для x. Но нетрудно заметить, что , а . Отсюда f(z)=, где z = .

Заметим, что выражение . То есть наша функция определена лишь на , при других значениях аргумента она может быть произвольной.

Ответ: f ( x ) = .

Далее предлагаем детям самостоятельную работу обучающего характера, хотя целью работы преследуем проверку глубины усвоения темы и умения проводить простейшие исследования.

Самостоятельная работа.

1) Решить уравнения:

а) f ( x + y ) + 2 f( x- y ) + f( x ) + 2 f( y ) = 4 x + y,

(Ответ: f (x) = x),

б) f ( x + y ) – 2 f ( x –y ) + f ( x ) – 2 f ( y ) = y – 2,

( Ответ: f (x) = x + 1),

в) f ( x + y ) + f ( x – y ) = 2 x² + 2 y² ( Указание: заменить x+y=u, x—y=v, ответ: f ( x ) = ),

г) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 3 x y ( x + y ),

( Ответ: f (x) = x³ + c x для произвольной постоянной с ),

д) f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) – g ( y ) = x³ + ,

( Ответ: f ( x ) = , g ( ) = a + ; a),

2)  Для каких значений a, b, c функция f ( x ) = a x² + b x + c удовлетворяет условию f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + x y для ?

3)  Дополнительно.

а) Решить уравнение:

f ,

Ответ: f ( x ) = .

б) При каких условиях уравнение:

k f ( x ) + l f = g ( x )

можно решить одной рациональной подстановкой?

После анализа решения уравнений подводим

V. Итоги занятия.

1) Познакомились с уравнениями, содержащими несколько переменных и функций;

2) Увидели, что, если решение содержит параметр, требуется находить возможные его значения;

3) Увидели, что при решении функциональных уравнений необходимо учитывать свойства функций;

4) Выработали и закрепили умения и навыки решения более сложных функциональных уравнений.

VI. Домашнее задание.

1)  Проанализировать примеры решения уравнений в классе.

2)  Решить уравнения:

а) f ( x y ) = f ( x ) Sin y

б) ( x + y ) ( f (x) – f (y) ) = f ( x² ) – f ( y² )

( ответ: f (x) = kx + b )

в) f (x+y) + f (x-y) – 2 f(x) ( 1+y) = 2 x y ( 3y - x² )

( ответ: f (x) = x³ )

г) f ( x³ - y³ ) = f ( x-y )

( ответ: f(x) = c(const) при x > 0, f(x) = cпри x=0, f(x) = c при x < 0, где c-произвольные действительные постоянные).

3) Всякое ли целое функциональное уравнение с рациональными внутренними функциями может быть решено за конечное число рациональных подстановок (в уравнениях с одной переменной)?

Резервные упражнения.

1) Решить уравнения:

а) 3 f - 5 f = при x

б) x f + (x+3) f (2x+5) – f = при x

2) Как наиболее просто искать подстановки в уравнениях, аналогичных второму, переводящие выражения, стоящие под знаком f (внутренние функции) друг в друга?

Заключение.

В данной разработке не могли быть даны приложения функциональных уравнений в современной математике. Даже история развития этой теории связана со сложными вопросами математики, такими как метод математической индукции, геометрия Лобачевского, аксиоматическое построение теории функций, других фактов геометрии, алгебры и анализа. Целью настоящей разработки стояло дать первое представление о функциональном уравнении и его решении на уровне 9 класса средней школы. Те учителя, которые в этом классе найдут время провести эти 4 урока, могут продолжить изучение функциональных уравнений, связанных с функциями, которые изучаются в старших классах. Эти уроки могут быть посвящены изучению классификации функциональных уравнений, их решению на множестве непрерывных, монотонных, дифференцируемых и иных классах функций. Можно заняться изучением приложений функциональных уравнений. Но первым делом для этого требуется изучить метод математической индукции, теорию групп из алгебры, теорию пределов и понятие производной из анализа, классификацию функций.

В данной разработке не представлены простые вопросы, связанные с числовыми неравенствами, их свойствами, доказательство неравенств, содержащие модуль числа, симметрические неравенства и др. Также теория игр, методы решения геометрических задач, решение упражнений, содержащих целую и дробную части числа, и другие важные и интересные темы, будут представлены во второй части работы. Также во второй части будут представлены вопросы, связанные с применением к различным упражнениям классической математики, но связанных с программой старших классов, в частности с элементами дифференциального и интегрального исчисления.