Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 1 )

Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах.

Содержание.

Вступление ………………………………………………………………………………….3 Аналитично - синтетический метод доказательства неравенств ………………………..4 Доказательство неравенств методом математической индукции и методом

мажорации (усиления)……………………………………………………………………….9

Решение уравнений, неравенств и их систем методом мажорации ……………… ……15 Опорные и классические неравенства. Применение метода специализации

при доказательстве неравенств …………………………………………………………..20

6. Применение классических и опорных неравенств при решении уравнений,

неравенств и их систем ……………………………………………………………………27

7. Доказательство неравенств, решение уравнений, неравенств и их систем

геометрическими методами ……………………………………………………………….33

Изучение простейших функциональных уравнений ……………………………………42 Заключение ………………………………………………………………………………...53

Вступление.

Практически любая часть человеческой деятельности становится более эффективной при использовании математических методов. Поэтому проблема повышения математической подготовки значительной части школьников приобретает государственное значение.

Выявить учащихся, имеющих интерес и склонности к занятиям математикой, позволяют математические олимпиады школьников.

Проведение всех олимпиад предполагает соответствующую подготовку учащихся, которая осуществляется под руководством учителя или самостоятельно. Как показывает практика, неподготовленные учащиеся чаще всего неудачно выступают на олимпиадах. Поэтому в каждой школе должны систематически работать кружки (факультативы), а также проводиться индивидуальная работа с учащимися, интересующимися математикой.

На занятиях кружка (факультатива) основное внимание следует уделять вопросам, изучение которых углубляет и расширяет знания, приобретаемые учащимися на уроках, способствуют овладению методами решения задач, уравнений и пр.

Кроме систематизации методов решения конкретных типов математических задач мы ставим своей целью развитие интеллектуальных качеств и возможностей детей, таких как развитие исследовательских, конструктивных, аналитических качеств, развитие интуиции. В методическом багаже в США и странах западной Европы при изучении экономики давно применяется метод Case – Study. Здесь мы применяем этот метод, адаптированный для учащихся средней школы. Подробнее с этим методом и его дидактическими возможностями можно ознакомиться в Интернете (см., например, «Дидактические возможности метода Case Study в обучении студентов», К. п.н., доцент, декан ППФ КГУ ). Одновременно мы заполняем пробел, который состоит в том, что литературы, доступной для учащегося, не имеющего специальной углубленной математической подготовки, очень мало. Да и для учителей, особенно молодых, «вычислить» решение олимпиадной задачи или самому, или, используя готовое решение, очень сложно. Поэтому своей целью мы ставим показать, как можно логическим путем прийти к решению данной математической задачи. Таким образом, данная работа будет интересна как для начинающего учителя, так и для учащихся, которые хотят научиться «вычислять» решение данной математической задачи. Мы взяли для начала одну из популярных тем математических олимпиад – доказательство неравенств. В современной математике неравенства играют огромную роль. Линейное и нелинейное программирование, теория игр, исследование операций, теория информации и т. д. – где неравенствам отводится центральное место, нахождение максимального или минимального значения функции, оценка любой величины сверху или снизу имеют целью также доказательство неравенства. Поэтому роль и актуальность этой темы трудно переоценить.

Тема «Доказательство неравенств» включена в программу факультативных курсов классов и школ с углубленным изучением математики в 9 классе, в которой на изучение этой темы отводится 4 часа. Поэтому мы предлагаем разработку этих уроков, на основе которых каждый учитель может составить свою систему работы, возможно в большем объеме.

Развивая тему «Доказательство неравенств», учитывая важность темы неравенств для развития математики и любой науки, имея в виду «Программу курсов по выбору», предоставленную В. Швецом и Л. Заболотней и рассчитанную на 35 часов факультативных занятий, мы представляем разработку 12 уроков по этой теме. В своей разработке мы показываем применение методов, применяемых при доказательстве неравенств, и в других вопросах, связанных с неравенствами – это решение уравнений, неравенств и их систем, а также для решения практических задач, связанных с оценкой выражений. В частности и в геометрии. Мы развиваем и обратную тематику, связанную с применением методов геометрии при решении аналогичных заданий.

Тема «Функциональные уравнения» включена в программу факультативных курсов классов и школ с углубленным изучением математики, представлена 4 часами, хотя возможно ее более основательное изучение, так как задания этой тематики встречаются на олимпиадах разного уровня, начиная с районных и заканчивая международными, на различных конкурсах и фестивалях, турнирах и. т. п.

Актуальность этой темы объясняется также ее научным значением, так как многие функции могут быть заданы только с помощью функционального уравнения. А функциональное направление даже в школьной математике является одним из ведущих. Данная тема имеет тесную связь с темой «Последовательности», которая также является обязательной темой базового школьного курса математики. Как известные последовательности – прогрессии, так и не очень часто встречающиеся - например, последовательность чисел Фибоначчи могут быть заданы с помощью функционального уравнения относительно натурального (целого) аргумента.

Изучение этой темы может быть реализовано со второй четверти 9 класса, когда приведены в систему все знания детей по теме «Функции», включая также понятие сложной функции. Для изучения этой темы на более высоком уровне необходимо знание темы «Производная» и метод математической индукции, а также элементы теории групп, которые могут быть изучены после изучения темы «Преобразования» в 8, начале 9 класса.

Изучая с детьми эту тему, мы преследуем цель развития у детей мыслительных навыков, умения обобщать и конкретизировать, дать представление об аксиоматической основе любой теории как системе знаний. Предлагая разработку нескольких уроков по изучению этой темы с детьми, мы преследуем цель – помочь начинающему учителю математики составить свою систему уроков в условиях конкретного класса и школы.

Занятие 1 (2 часа)

Тема: «Аналитико-синтетический метод доказательства неравенств».

Дидактическая цель занятия: Сформировать у учащихся понятия неравенства - следствия, равносильности неравенств. Учить «выстраивать» логические цепочки при доказательстве неравенств, различая аналитическую и синтетическую части. Учить проводить исследования при доказательстве неравенств.

I. Актуализация опорных знаний.

Учитывая, что уроки желательно проводить в 9 классе после изучения темы «неравенства», то уроки систематизации и обобщения по теме можно считать подготовительными для изучения темы на факультативных занятиях, которые и должны давать углубленные знания по теме. Целью данной части урока, если это не сделано ранее, - уяснить с учащимися понятие неравенство – следствие и понятие равносильности неравенств. То есть, напоминаем, что из неравенства a>b, например, следует неравенство c>d, если верно неравенство a>b, то будет верно и неравенство c>d (пишем a>b c>d). Неравенство c>d называется неравенством – следствием для неравенства a>b. Если одновременно из a>b следует c>d и из неравенства c>d следует a>b, то неравенства a>b и c>d называются равносильными (пишем a>b c>d). Мы знаем, например, что

a>b a-b>0,

a<ba-b<0,

aba-b0,

a ba-b0

a>b, b>ca>c,

a>b, bca>c,

a b, bc ac,

a>b, ca + c>b + c,

a>b, c>0 ac>bc,

a>b, c<0 ac<bc.

Упражнение 1.

Учитель. Покажите, что знак следования нельзя заменить в утверждениях знаком равносильности .

Дети приводят контрпример, показывающий, например, что из ac>bc не следует a>b, c>0 (возможно a<b, c<0).

Если величины, входящие в данные неравенства, зависят от некоторых переменных, то нужно говорить о множестве истинности данного неравенства.