Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 7 )

.

Чтобы оценить множество значений каждого слагаемого, стоящего в левой части последнего уравнения, рассмотрим функцию: . Преобразуем выражение так: , где (следует из ОДЗ). Тогда легко определить и множество значений каждого слагаемого: , . Тогда . Равенство возможно лишь при условии, если =0, то есть при . Откуда , что невозможно ни при каких значениях переменной . Ответ: уравнение не имеет корней.

Решение уравнения 7.

Дети легко выписывают условия, определяющие ОДЗ уравнения: .

Учитель. Попробуйте оценить значения выражений, стоящих в левых частях каждого из уравнений, на множествах возможных значений , определяемых условиями ОДЗ.

Ученик. Если , то . Так как функция является возрастающей на множестве положительных чисел, то . А так как , то 1. Первое уравнение, таким образом, может быть верным при условии, что =1, а это возможно, если =0 и =0. Второе уравнение может быть верным при условии, что =1.

Учитель. Объединим все условия в систему . Решите ее.

Ученик. После решения получаем .

Учитель. Как же запишется ответ?

Ученик, анализируя полученный результат, дает ответ: при ; при ; при других значениях данная система решений не имеет.

Решение системы уравнений 8.

Учитель. Попробуйте оценить возможные значения выражений, входящих в данную систему.

Ученик. При и , и наоборот; Оценим выражения и .Для этого выполним элементарные преобразования по выделению в выражениях полных квадратов. Имеем то есть ; , то есть .

Задача учителя состоит в том, чтобы убедить учащихся в существовании более сильной оценки для величины из первого уравнения, а именно . Далее учитель просит учащихся проанализировать возможность одновременного выполнения неравенств: и . Отсюда дети делают вывод о том, что система не имеет других решений, кроме и .

Решение уравнения 9..

Дети, которые «знакомы» с тригонометрией, увидят сразу, что выражение принимает ограниченное множество значений. Чтобы оценить его, дети выполняют преобразование выражения в произведение: . Откуда . А вот выражение может принимать неограниченное множество значений.

Учитель. Попробуйте теперь, анализируя данное уравнение, оценить множество значений а затем и .

Ученик. Так как принимает лишь целые значения, то . Решим его относительно . Получим , откуда . Тогда =1. Значит, выражение=1. Чтобы найти из последнего равенства, возведем обе части его в квадрат. Получим , откуда . Решим его. Имеем . Так как =1, то , а . Ответ: .

IV. Упражнения на выработку навыков применения метода мажорации при решении уравнений, неравенств, и их систем.

Предлагаем детям упражнения для самостоятельного решения. При необходимости пусть дети обсуждают вопросы в группах. При этом приветствуем решения разными методами.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9)

Здесь мы приведем для учителя решение лишь уравнения 7.

Так как , то мы можем использовать известное неравенство . Тогда легко получим оценку значений выражений и . А именно

, , так как .