Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 8 )

Откуда .

После завершения обсуждения решений подводим

итоги занятия. На этом этапе еще раз подчеркиваем значимость метода оценок при решении «классических» для математики упражнений. Также подмечаем роль ОДЗ при решении уравнений методом оценок, а также необходимость проведения анализа на каждом этапе решения. Учитель обращает внимание детей на необходимость каждый раз обоснования справедливости оценки, опираясь на монотонность соответствующей функции.

V. Домашнее задание.

1) Проанализировать еще раз методику применения оценок значений выражений при решении уравнений, неравенств и систем;

2) Решить уравнения, неравенства и системы:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

д) ;

е) ;

ж) .

Занятие 4 (2 часа)

Тема. Опорные и классические неравенства. Применение метода специализации при доказательстве неравенств.

Дидактическая цель. Познакомить учащихся с неравенствами Коши, Коши - Буняковского, Чебышева, Бернулли, неравенством трех квадратов и некоторыми другими и их применением при доказательстве неравенств, решением уравнений, неравенств и других ситуациях. Выработать соответствующие навыки. Познакомить учащихся с методом специализации и его применением при доказательстве неравенств и других ситуациях. Выработать соответствующие навыки.

I. Актуализация опорных знаний.

Урок начинаем с решения проблемных задач. Для эффективности предлагаем групповое решение или обсуждение решения в группах.

Задача 1. Из металла требуется сделать каркас здания в форме прямоугольного параллелепипеда в сейсмически опасном районе наибольшего объема из имеющегося количества материала общей длины .

Приводим для учителя решение. Обсуждение зависит от уровня развития детей и их подготовленности по предыдущим темам спецкурса.

Решение. Обозначим длину, ширину и высоту здания соответственно . Тогда , а объем должен быть наибольшим. Далее вспоминаем доказанный ранее факт, что (*) . Откуда, полагая , имеем . Тогда . Из исследования, проведенного при доказательстве неравенства (*), следует, что равенство возможно в случае . И в этом случае объем будет наибольшим. То есть, каркас должен иметь форму куба с длиной ребра, которую находим из уравнения . Откуда .

Задача 2. Из всех прямоугольных параллелепипедов с данной длиной диагонали найти тот, который имеет наибольшую площадь полной поверхности.

Решение. Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда через и . Тогда из геометрии известно, что квадрат длины диагонали равен , а площадь полной поверхности равна 2. Далее вспоминаем с детьми доказанный факт

(**) .

Анализируя это, имеем: , где - площадь полной поверхности, а - длина диагонали параллелепипеда. Также вспоминая ранее доказанный факт о том, что равенство в (**) будет при условии равенства , делаем вывод: у куба наибольшая площадь поверхности .

II. Обобщения и формулировки общих положений.

Учитель. Неравенства, которые мы использовали сегодня и доказанные ранее,- одни из примеров неравенств, которые по частоте использования и значимости, стали классическими. Вспомним их.

Дети. 1) , ; , ;

2) ;

3) ;

4) при условии, что и или при условии и .

5) ;

6) при условиях, что и или и ;

7) ;

8) , и .

Учитель. Попробуйте сформулировать словами утверждение (1) и обобщить его для n чисел.

Ученик. Среднее арифметическое нескольких чисел не меньше среднего геометрического этих чисел. Для n чисел его можно записать так:

,

где числа неотрицательны.

Учитель. Это неравенство носит название в математике неравенства Коши. Попробуйте обобщить таким же образом и второе неравенство.

Ученик.

.

Учитель. Попробуйте сформулировать это неравенство словами, учитывая, что выражение, стоящее в левой части неравенства, называется в математике средним квадратичным или средним квадратическим n чисел.

Ученик. Среднее квадратическое n чисел не меньше среднего арифметического этих чисел.

Учитель. Исследуйте, пожалуйста, самостоятельно условия, при которых в этих неравенствах будет достигаться равенство.

Дети, вспоминая доказательство соответствующих неравенств, формулируют эти условия: если все числа равны между собой.

Учитель. Неравенства (4) и (6) справедливы для последовательностей двух, трех и т. д. n чисел, которые являются одновременно убывающими либо возрастающими. Попробуйте обобщить их для последовательностей неубывающих и невозрастающих чисел и

Ученик. Очевидно, требуется в неравенстве заменить знак строгого на знак нестрогого неравенства.

Учитель. Верно! Скажите, пожалуйста, а можно ли получить аналогичные неравенства для последовательностей чисел разной монотонности?

Ученик. Из доказательств соответствующих неравенств следует, что требуется в неравенстве изменить знак неравенства на противоположный.

Учитель. Совершенно верно! Я думаю, ясны и условия, при которых будут в этих неравенствах, выполнятся равенства. Эти неравенства носят название неравенств Чебышева. Неравенства (5) и (7) носят название в математике неравенств Коши – Буняковского. Неравенство (8) может быть сформулировано не только для натуральных n, но и для рациональных. То есть, можно доказать справедливость выполнения неравенства:

Для a>-1 и p>1 или p<0 верно неравенство: ;

Для a>-1 и для 0<p<1 верно неравенство: .

Далее дети сообщают некоторую информацию об этих ученых. А учитель дает детям список литературы, где они могут найти информацию о других классических неравенствах и их использовании в математике. Это касается неравенств Йенсена, которые можно изучить в 10 – 11 классах после изучения показательной функции; это касается также неравенств Карамата, неравенств Юнга, Абеля, Фейера, Гельдера и других. Для доказательства неравенств Коши им был разработан специальный метод математической индукции, который носит название индукции «вниз», в то время, как стандартный метод называется индукцией «вверх». Для адаптации учащихся к этому методу предлагаем: