Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 13 )

Тема. Доказательство неравенств, решение уравнений, неравенств и их систем геометрическими методами.

Дидактическая цель. Познакомить учащихся с методикой применения фактов из геометрии при решении «классических» заданий школьного курса алгебры. Научить применять координатный метод, теорему о скалярном произведении векторов, неравенство треугольника, теорему о свойстве длины ломаной, теорему косинусов, формулы тригонометрии при доказательстве неравенств, решении уравнений, неравенств и их систем.

Развивающая цель. Развивать интуицию, конструктивные и аналитические способности учащихся. Развивать воображение, представление учащихся о практической значимости математики.

I. Актуализация опорных знаний.

Учитель предлагает детям повторить следующие вопросы, работая в группах:

1)  теорему косинусов, следствия из нее и методику применения ее в геометрии; в частности, предлагаем детям сказать о величине угла А треугольника АВС, если известно, что для сторон а, в, и с этого треугольника выполняется равенство: ;

2)  метод координат и методику его применения в геометрии; например, в плоскости квадрата найти множество точек М, для которых имеет место равенство .

3)  скалярное произведение векторов и методику использования его при решении различных геометрических задач; например, доказать, что параллелограмм является ромбом, если его диагонали взаимно перпендикулярны.

4)  неравенство треугольника, условия, при которых в нем достигается равенство и его значение в математике;

5)  доказанные ранее нестрогие неравенства (в том числе неравенство Коши – Буняковского) и условия, при которых в них достигается равенство;

6)  набор задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения некоторой величины (выражения в алгебре, некоторой величины в геометрии, конкретной величины из практических задач экономики и др.);

II. Восприятие и усвоение метода.

Предлагаем детям обсудить решение следующих упражнений, стандартных для уроков алгебры.

Пример 1. Найти наименьшее значение выражения: .

Пример 2. Доказать неравенство: .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение примера 1.

Учитель предлагает дать геометрическую интерпретацию каждого слагаемого суммы. Думается, что после выполнения подготовительного упражнения 1) найдутся дети, которые «увидят» в них выражения для сторон в треугольниках, противолежащих соответственно углам и со сторонами, соответственно 1 ед. дл. и x ед. дл.

Учитель предлагает детям дать геометрическую интерпретацию суммы.

Думается, что найдутся дети, которые могут (или коллективно) сделать рисунок, дающий такую интерпретацию.

Предлагаем детям проанализировать условия, при которых сумма сторон и минимальна.

Ученик. Очевидно, в случае, если точки лежат на одной прямой.

Учитель. И при каких же значениях x это выполняется?

Ученик. Такие значения х можно найти из условия, при котором три точки лежат на одной прямой, то есть, при условии, если . Но можно найти из треугольника АСВ по теореме косинусов. И оно равно . Это и будет минимальным значением данного выражения.

Ответ: .

Решение примера 2.

Учитель. Проведем анализ. Неравенство получит хорошую геометрическую, а точнее тригонометрическую интерпретацию, если в этом выражении заменить на , а на . Обратим внимание детей на равносильность этой замены. То есть, множество значений совпадает с множеством значений ; аналогично, множество значений совпадает с множеством значений . Продолжите теперь доказательство.

Ученик. Неравенство тогда перепишется в виде . Или что равносильно неравенству что очевидно. Выполняя преобразования, обратные тем, что были проведены при анализе, получим доказательство данного неравенства.

Решение примера 3.

Учитель. Проведем анализ. Хотя это уравнение было решено нами применением неравенства Коши – Буняковского, но стоит заметить, что неравенство Коши – Буняковского имеет хорошую геометрическую интерпретацию, а именно, выражает оценку сверху для скалярного произведения векторов.

Учитель просит записать неравенство Коши – Буняковского для n=2, то есть , выражение для скалярного произведения векторов через длины этих векторов, то есть и просит сравнить их.

Дети делают вывод, что если в последнем равенстве принять и за координаты вектора , а и за координаты вектора , получим после возведения в квадрат обеих частей равенства и, учитывая, что неравенство Коши – Буняковского.

Учителю лишь стоит заметить, что это утверждение будет верно и для n – мерных векторов.

Теперь, если принять за , получим . Теперь можно использовать условия, при которых достигается равенство в неравенстве , полученное детьми при анализе опорных знаний. А именно или (при этом ), то есть при некотором значении . Откуда дети пишут: . И находят корни его. Ответ: .

III. Упражнения на выработку навыков применения методов геометрии при доказательстве неравенств, решении уравнений, неравенств и их систем.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Учитель просит детей дать геометрическую интерпретацию данного уравнения. Учитель просит в случае необходимости выделить в каждом подкоренном выражении сумму квадратов некоторых выражений.

Дети пишут:

Ученик. Левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний между точками с координатами и, соответственно, .

Учитель. Попробуйте интерпретировать правую часть этого уравнения через имеющиеся точки.

Ученик. Число 5 можно понимать как расстояние между точками с координатами и . Обозначим эти точки через , и .