Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 16 )

Далее повторяем с учащимися определение и свойства функции, включая:

1)  Обозначение функций: f(x), g(x), и т. д.

2)  Область определения и множество значений: D(f), E(f)

3)  Непрерывность, периодичность, четность

4)  Известные функции и их свойства

5)  Понятие сложной и обратной (желательно) функции.

Под известными функциями имеем в виду функции: y=x², y=x³, y=xⁿ, =,yy=kx+b, y=, y= sin x, y= cos x, y= tg x, если они были изучены на факультативном занятии.

Предлагаем учащимся найти значение функции f(x)=x²: f(2), f(t), f(1-x).

После ответа учащегося на вопрос как найти f(2) следует вопрос:

Учитель. Что необходимо сделать, чтобы найти f(t) и f(1-x)?

Ученик. Нужно вместо аргумента x в выражение, задающее функцию, подставить соответственно t и 1-x. Получим

f (t) = t², f(1-x) = (1-x)² = 1-2x+x² .

Учитель. f ( x+5)= x²; Как найти f ( x) ?

Если ученики не смогут дать четкий ответ, верный ответ предлагает учитель, например, так: обозначив x+5 за t, имеем x+5 =t x=t-5, тогда из условия следует, что f (t)= (t-5)², т. е. f (x) = ( x-5 )² = x² - 10x + 25.

II.  Восприятие и осознание понятия функционального уравнения.

Вспомните определение четной ( нечетной ) функции: для всех x из области определения функции выполняется равенство f (x) = f(-x) или соответственно f (x ) = - f ( - x ). Эти равенства можно записать в виде: f ( x ) – f ( - x ) = 0, f (x ) + f ( - x ) =0. Такие равенства в математике называются функциональными уравнениями. Аналогичным равенством f ( x+T ) – f ( x ) = 0 задается периодическая функция.

Определение. Уравнение, содержащее кроме переменных неизвестные функции, называют функциональным уравнением.

Решить данное функциональное уравнение - это значит найти все функции, удовлетворяющее данному уравнению при заданных значениях переменных или доказать, что таких функций нет.

Пример 1. Коллективно решаем уравнение: f (x) + 2f = x, найти f (x).

Учитель. Мы видим в уравнении R\{0} два значения одной функции при взаимно обратных значениях аргумента. Но из одного уравнения найти два неизвестных значения мы найти не сможем. Что вы предлагаете?

Ученик. Необходимо составить еще одно уравнение с теми же неизвестными f(x) и f .

Учитель. Как же это сделать?

Ученик. Заменяя x на слева и справа в уравнении, мы получим другое уравнение относительно f(x) и f : f + 2f(x) =. То есть имеем систему:

Учитель. Решите, пожалуйста, систему относительно f(x).

Ученик. -3f(x)= x - f(x)= =

Ответ: f(x)=.

Учитель. Попытайтесь решить таким же способом уравнение: 2f(x)+f(1-x)=x².

Ответ: f(x)= .

Учитель. Познакомимся еще с одним методом решения функциональных уравнений. Попытаемся угадать вид функции f(x).

Ученик. Так как справа стоит многочлен второй степени, то и f(x) должна быть многочленом той же степени, причем, очевидно, общего вида, т. е. f(x)=ax²+bx+c, так как при подстановке вместо x линейного выражения и при линейных преобразованиях полученных выражений степень многочлена не изменится.

Учитель. Совершенно верно, продолжите.

Ученик. f(1-x)=a(1-x)²+b(1-x)+c=ax²-x(2a+b)+(a+b+c). Подставляя полученное выражение в уравнение, получим: 3ax²+x(b-2a)+(a+b+3c)=x².

Учитель. При каком условии равны два многочлена одной степени?

Ученик. Когда равны коэффициенты при одинаковых степенях! (докажите это!).

То есть f(x)==

=.

Учитель. При втором способе решения, не ясно имеет ли данное уравнение другие решения. Предположим, что да! Что это значит?

Ученик. Это значит, что существует функция g(x), не совпадающая с f(x) хотя бы в одной точке x◦, удовлетворяющая данному уравнению.

Учитель. Тогда?

Ученик. Тогда, как и с f(x) имеем систему

g (x◦)==f(x◦). Получили противоречие.

Значит, функция y=f(x)= - единственная, удовлетворяющая данному функциональному уравнению.

Учитель. Таким образом, мы познакомились с понятием функционального уравнения и особенностями решения уравнений методом неопределенных коэффициентов и методом подстановок. Заметим, что решение функционального уравнения состоит из трех шагов:

1)  Предполагая, что решение существует, то ли методом подстановок, то ли методом неопределенных коэффициентов находим неизвестную функцию;

2)  Проверкой убеждаемся, что найденная функция удовлетворяет данному уравнению;

3)  Доказываем, что других решений нет.

Для лучшего усвоения процесса решения функциональных уравнений предлагаем учащимся восстановить эту последовательность на примере уравнения:

2 f(x ) - x f = x² - 3.

Учитель. Что необходимо сделать в первую очередь, чтобы решить уравнение методом подстановок?

Ученик. Необходимо подобрать такую подстановку, чтобы преобразовать x→ и наоборот, чтобы иметь систему относительно f(x) и f .

Учитель. Пожалуйста, попытайтесь!

Ученик. Обозначим =t x= .

Далее исключаем из системы f и будем иметь :

∙f(x)= 3+ f(x)=

Доказательство единственности решения аналогично.

Учитель далее сообщает, что в математике различают частное, общее и полное решения.

f(x) – частное решение функционального уравнения, если она содержит или не содержит произвольную постоянную.

f(x) - общее решение, если оно содержит произвольную функцию.

f(x) - полное решение, если доказано, что она включает любое общее или частное решение, т. е. если доказана единственность, т. е. отсутствие других решений.

Как мы увидим далее найти полное решение очень и очень непросто, поэтому иногда на первых порах мы будем ограничиваться нахождением частного решения или одного из них.

III.  Усвоение умений и навыков решения функциональных уравнений методом неопределенных коэффициентов и методом подстановок.

В зависимости от развития детей предлагаем для решения как стандартные, так и задания исследовательского характера, начиная с самых простых.

Пример 2 . f(x) = 3x² . Найти f(t) , f(x-2) , f .

Еще раз вместе с учащимися проговариваем правило нахождения значений функции, когда вместо переменной стоит какое - то выражение.

Ученик. f(t)= 3t²

f(x-2) = 3(x-2)² = 3x² -12x+ 12

f .

В последнем случае x≠ -3.

Пример 3 . f(x)=. Найти f f для x ≠-2.

Ученик. f = = , если x≠0