Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 12 )

Учитель. Попробуем представить левую часть уравнения, чтобы получить более точную оценку сверху, как сумму двух произведений, а именно: = , а= , и использовать неравенство Коши.

Ученик. ; ,

а сумма . Значит, равное ей выражение . Анализируя полученное неравенство, видим, что его можно привести к виду . А это возможно лишь в случае, если - единственно возможный корень уравнения.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Сравнивая левую часть данного уравнения с левой частью уравнения примера 1, дети делают вывод, что тот же метод оценки, что и в первом примере вряд ли «пройдет». Но после рассмотрения примера 4, думается, что найдутся дети, которые предложат представить каждое слагаемое и как произведение и применить для оценки возможных значений выражения неравенство Коши - Буняковского, так как - конкретное число.

Ученик. Согласно неравенству Коши- Буняковского для имеем

.

Полагаем в нем , . Получим . Так как функция возрастающая, то .

Учитель. Вспомните условия, при которых в неравенстве Коши - Буняковского достигается равенство.

Ученик. Если . Решим его. Числа 1, являются корнями последнего уравнения. Ответ: .

Пример 6. Решить систему уравнений

Решение.

После рассмотрения примера 5 думается, что найдутся дети, которые предложат и в этом случае применить неравенство Коши – Буняковского, чтобы оценить возможные значения выражений, входящих в уравнения данной системы.

Ученик. Для этого представим =, =. Сравнивая с данными выражениями неравенство Коши - Буняковского для , необходимо положить в нем . Тогда получим

.

Отсюда. Но из системы следует, что . Это не верно, значит, система не имеет решений.

IV. Упражнения на выработку навыков применения классических неравенств при решении уравнений, неравенств и их систем.

Следующие упражнения предлагаем для самостоятельного или группового решения с последующим коллективным обсуждением решения.

Упражнение 1. Решить уравнение .

Упражнение 2. Решить уравнение .

Упражнение 3. Решить уравнение

Упражнение 4. Решить систему уравнений

Упражнение 5. Решить уравнение .

Упражнение 6. Решить уравнение .

Упражнение 7. Решить систему уравнений на множестве положительных чисел

Приведем для учителя решение некоторых заданий.

Решение упражнения 4.

, . Обращаем внимание учителя на то, что необходимо доказать возможность применения неравенства Коши, то есть положительность чисел Числа , так как знак совпадает со знаком . Из первого уравнения следует, что . Оба отрицательными быть не могут, это противоречит второму уравнению. Из неравенств Коши следует, что . Но неверно, поэтому система уравнений не имеет решений.

Решение упражнения 6.

Так как , то умножим обе части уравнения на , который внесем под корень. Получим . Представим = , = . Применяя неравенство Коши, имеем

.

Равенство имеет место при условии . Решая его, находим .

V. Итоги занятия.

Дети обмениваются впечатлениями, которые они получали, применяя вроде бы не совместимые вещи, такие как неравенство и уравнение. Некоторые из учащихся могут сами принять участие в составлении заданий на применение классических неравенств в решении уравнений, неравенств и их систем. Некоторые дети могут заметить, что предлагавшиеся уравнения можно преобразовать в неравенства или составить систему уравнений или неравенств на их основе. Поэтому можно при желании увеличить время на выполнение заданий такого рода. Причем дети заметят, что они на этих уроках продолжали развивать навыки применения метода мажорации при решении уравнений, неравенств и их систем. Следует предложить детям попытаться решить домашние уравнения несколькими способами.

VI. Домашнее задание.

1)  Проработать по конспекту методику применения классических неравенств при решении уравнений, неравенств и их систем.

2) Решить уравнения: а) .

б) в целых числах .

в) .

г) .

д) .

е) .

ж) .

Решить систему уравнений в положительных числах

Занятие 6 (2 часа)