Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 15 )

Откуда . Теперь, как и при решении примера 3, составляем с детьми систему:

Решая ее, находим

Ответ:

Пример 12. Решить систему уравнений

Решение.

Учитель просит детей, проанализировать уравнения системы и дать «тригонометрическую» интерпретацию переменных x и y. Для этого просим детей указать множество значений переменных x и y. После этого найдутся дети, которые найдут «равносильную» геометрическую, а точнее тригонометрическую замену переменным.

Ученик. Положим, например, . Тогда система примет такой вид:

Применяя формулы тригонометрии, делаем вывод, что корнями первого уравнения будут любые значения , а второе уравнение перепишется так: Решим его. . Известно, что , . Применяя формулы приведения, найдем возможные значения и . Проверкой убеждаемся, что решением данной системы будут следующие пары чисел: , , , .

Пример 13. Решить систему уравнений:

Решение.

Учитель, если дети сразу не увидят тригонометрическую интерпретацию уравнений системы, предлагает вспомнить известные формулы тригонометрии, в частности, сравнить выражения, стоящие в правой части уравнений с выражениями для тангенса двойного аргумента.

Ученик. Если положить, что для некоторого угла , то из первого уравнения следует, что . Тогда из второго уравнения следует, что . Из третьего уравнения будет следовать тогда, что .

Учитель предлагает заметить, что не все значения угла будут допустимыми и просит детей проанализировать это.

Дети. Так как из системы следует, что , то , , . Также z существует при . Остальные переменные существуют при всех указанных выше значениях . Решим уравнение . . При этих значениях все предыдущие ограничения выполнены, поэтому можно найти соответствующие значения переменных x, y,z.

.

Проверка подтверждает, что найденные значения удовлетворяют системе.

Ответ: , , ,.

IV. Упражнения для самостоятельной работы по выработке навыков применения методов геометрии при доказательстве неравенств, решении уравнений, неравенств и их систем.

Упражнение 1. Решить уравнения: ,

,

,

, ,

Упражнение 2. Решить систему уравнений:

Упражнение 3. Для любых доказать неравенство:

.

Упражнение 4. Решить уравнение:

.

Упражнение 5. Доказать, что для всех таких, что выполняется неравенство

Упражнение 6. Доказать, что для положительных выполняется неравенство:

.

Упражнение 7. Решить уравнение .

Упражнение 8. Решить систему уравнений:

(Указание: использовать неравенство для трех точек, заданных своими координатами).

V. Подведение итогов занятия.

1. Учитель просит детей еще раз вспомнить те новые методы, которые использовались на уроках.

2. Проговариваем с детьми еще раз методику использования геометрических (тригонометрических) методов при решении стандартных алгебраических задач.

3. Нацеливаем детей на домашнюю самостоятельную творческую работу по отысканию таких случаев из геометрии, которые приводят к возникновению уравнений, неравенств и пр.

VI. Домашнее задание.

1.  Повторить методику решения классных заданий, методы из геометрии, применяемые при их решении.

2.  Решить практические задания:

Уравнения ;

;

;

;

Изобразить точки на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют равенству: ;

Решить систему уравнений:

Доказать, что для всех , таких что справедливо неравенство .

3. Отыскать геометрические неравенства, которые приводят к уравнениям, неравенствам, системам и составить их. Использовать для этого, в частности, книгу Прасолов по планиметрии, ч.1.-М.:Наука, 1995.

4. Решить систему уравнений:

(Указание: использовать неравенство для четырехугольника ).

5. . Решить систему уравнений:

(Использовать неравенство , где полупериметр четырехугольника ).

Тема. Функциональные уравнения и простейшие методы их решения ( 4 акад. часа )

Занятие 1 (2 часа)

Дидактическая цель. Сформировать у учащихся понятие функционального уравнения. Дать первое представление о решении. Познакомить учащихся с простейшими методами решения целых функциональных уравнений.

I. Актуализация опорных знаний.

Предлагаем учащимся ответить на стандартные вопросы:

1)  Что значит решить уравнение с одной переменной? ( Например, x³-3x²+5x =0)

2)  Что значит решить уравнение с двумя переменными? ( Например, 2x+3y =5)

3)  Какие мы знаем методы решения систем линейных уравнений? Повторяем, например, решая систему: