Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 6 )

цениваем так: , откуда получаем требуемое.

II. Актуализация опорных знаний.

Предлагаем детям решить уравнения:

а); б).

Ученик. Так как все слагаемые в уравнениях принимают неотрицательные значения, то равенства в них возможны только в случае, если слагаемые равны нулю. Значит, только пара чисел является решением первого уравнения. Решением же второго уравнения будут тройки чисел: (3;3;3), (3;-3;3), (3;3;2), (3;-3;2).

III. Упражнения на применение метода мажорации при решении уравнений, неравенств и их систем.

1)  Решить уравнение ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  ;

6) 

7)  Решить систему уравнений ;

8)  Решить систему в неотрицательных числах

;

9)  Решить уравнение .

Решение уравнения 1.

Учитель. Попробуйте провести анализ первого уравнения.

Ученик. Соберем все слагаемые в левой стороне уравнения.

Заметим, что 2 и 1 представляют собой квадраты двучленов и . Поэтому, уравнение равносильно следующему: +=0. Откуда легко находим его корни .

Решение уравнения 2.

Учитель. Что вы можете сказать о множестве значений функций, задающихся выражениями, стоящих в левой и правой части второго уравнения?

Ученик. Так как значения выражений неотрицательны, то , а 1. А так как функция возрастающая, то .

Учитель. При каком условии тогда возможно равенство в этом уравнении?

Ученик. Очевидно, когда значения обоих выражений равны 1 одновременно, то есть, при одних и тех же значениях переменной x.

Учитель. При каких же?

Ученик. При . Это число и будет корнем данного уравнения.

Решение уравнения 3.

Учитель. Попробуйте оценить множество значений выражений, стоящих в левой и правой части уравнения.

Ученик. Чтобы это сделать, выделим квадраты двучленов в выражениях , и . = +4, = , = 5 - . Так как значения выражения неотрицательны, то 4, 9, 5. Так как функция возрастающая на области определения, то 2, 3, поэтому их сумма . А значения правой части уравнения не превышают 5.

Учитель. Что вы можете сказать о возможных значениях , при которых данное равенство верно?

Ученик. Очевидно, когда значения левой и правой частей уравнения одновременно равны 5. Это возможно при условии, что , то есть при - корень уравнения.

Решение уравнения 4.

Учитель. С чего вы предлагаете начать оценку значений левой части уравнения?

Ученик. Найдем ОДЗ уравнения из условий: ,0 . Решением первого неравенства будет , а решением второго неравенства будет или . Оба условия выполнены на промежутке .

Учитель. Попробуйте указать теперь множество значений выражения .

Ученик. 1, , , поэтому 1.

Теперь дети легко заканчивают решение уравнения. Ответ: .

Решение уравнения 5.

Ученик. Найдем ОДЗ уравнения из условий: .

Из первых двух условий дети легко находят, что . Но третье неравенство легко не решается, поэтому учитель предлагает оценить возможные значения выражения при . При этом просит детей обосновывать каждый шаг своего рассуждения., ссылаясь на свойства функций.

Ученик. Так как функции возрастают на множестве, то их сумма тоже является возрастающей функцией на этом множестве. Поэтому . Системе неравенств удовлетворяет лишь значение =0, которое достигается при - корень уравнения 5.

Решение уравнения 6.

Ученик, проводя анализ ОДЗ данного уравнения, замечает, что выражения существуют лишь при условии, когда . Внесем под знаки корней множители. На множестве, на котором выполняются условия ОДЗ, получим равносильное данному уравнение: