Методика изучения некоторых тем факультативного курса математики в 8 – 11 классах (стр. 4 )

Неравенство 7. Анализ. Преобразуем выражение, стоящее в левой части неравенства.

=

= =

==

=.

Доказательство. Из условия следует, что первое слагаемое в последнем выражении равно нулю. Так как выражение, стоящее в фигурных скобках, представляет собой сумму неотрицательных выражений, то является неотрицательным. Второе слагаемое, таким образом, будет неположительным, как и все выражение.

II. Актуализация опорных знаний проводится в том случае, если дети знакомы с методом математической индукции. Если же нет, то даем проблемную задачу, которую решаем коллективно.

III. Восприятие и усвоение применения метода математической индукции при доказательстве неравенств.

Пример 1. Доказать справедливость неравенства при любом натуральном .

Учитель. Проверим, что при неравенство верно. Как оно запишется?

Ученик. или , что, очевидно, верно.

Учитель. Предположим, что при равном некоторому натуральному оно тоже верно. Запишите его, пожалуйста.

Ученик. (*)

Учитель. Докажем, что неравенство будет верным при . Запишите его.

Ученик. (**)

Учитель. Попробуйте доказать его справедливость.

Ученик. Прибавим к обеим частям неравенства (*) выражение . Откуда будет следовать, что . Сравним и . Для этого найдем их разность. Получим . Так как , разность положительна, поэтому > . На основании свойства транзитивности для неравенств (**) доказано.

Учитель. Из нашего рассуждения можно сделать вывод о том, что наше неравенство справедливо при любом натуральном . Попробуйте объяснить это.

Ученик. Мы проверили, что утверждение справедливо при . Тогда, предположив, что , на основе доказанного делаем вывод, что оно верно и при . Теперь, если предположить, что , на основе доказанного делаем вывод, что неравенство верно при . Рассуждая далее таким же образом, можно дойти до любого натурального . То есть, неравенство справедливо при любом натуральном . Это мы встречали при составлении циклических программ в информатике.

Учитель. Этот метод доказательства в математике носит название метода математической индукции и часто применяется при доказательстве утверждений, содержащих натуральный (целый) параметр.

Далее учитель просит учащихся еще раз проговорить суть этого метода.

Для первичного закрепления не вызовет затруднения учащихся доказательство неравенства

Пример 2. Доказать для справедливо неравенство . Здесь греческая буква означает сумму первых слагаемых вида , где пробегает значения от 1 до . То есть, требуется доказать неравенство .

Здесь мы не будем приводить его доказательство.

IV. Выработку навыков доказательства неравенств методом математической индукции

проводим при выполнении следующих упражнений, которые предлагаем детям для самостоятельного решения. Если возникнет необходимость, приветствуем обсуждение в группах возникших проблем. Возможно, для несильных учащихся потребуется индивидуальная помощь учителя, а лучше – товарищей.

1) ;

2) для ;

3) для и ;

4) при условии, что и или и ;

5) .

Дополнительные упражнения.

1) ;

2) ;

3) , .

V. Овладение методом мажорации (усиления) при доказательстве неравенств.

Пример 3. Доказать, что для .

При анализе этого утверждения дети замечают, что стандартным образом, используя метод математической индукции, это неравенство доказать не удастся.

Учитель. Оценим отдельно каждое слагаемое данной суммы.

После некоторых неудачных попыток, таких как , не приводящих к цели, думается, что найдется ученик, который вспомнит нахождение суммы вида из 6 класса, откуда предложит способ оценки этой суммы:

, откуда искомая сумма не превосходит , что меньше 2.

Подводя итог работы, делаем вывод: для доказательства неравенства A < B находим величину С, такую что С, которая заведомо меньше B. Будем считать величину С мажорантой для A, а метод доказательства – методом мажорации (усиления, так как мы вместо доказательства неравенства A < B доказываем более сильное неравенство С или ). Аналогично, для доказательства неравенства доказываем неравенство или . Величину С назовем минорантой для величины A. Иногда более сильное неравенство доказать легче, нежели данное. Например, в нашем случае более сильное неравенство легко доказывается методом математической индукции. Этот метод в математике называют еще методом оценок. Отыскание точной оценки для некоторой величины в практике является часто непростым, но и нужным делом.