и . Рынки и рыночная власть, теория организации промышленности (стр. 13 )

Рис. 8.14.

Каковы стимулы к обеспечению совместимости? Во-первых, совместимость повышает спрос, поскольку она лучше адаптирует продукты ко вкусам потребителей. Во-вторых, как показывают Мэтьютес и Реджибо, совместимость смягчает ценовую конкуренцию. Чтобы убедиться в последнем, отметим, что, когда фирма 1 снижает цену на продукт Х1, она повышает спрос на системы, содержащие Х1 (так как обобщенные цены на эти системы снижаются). В случае несовместимости единственной системой, содержащей X1, является X1Y1. (Собственно говоря, снижение цены на Х1 в таком случае эквивалентно точно такому же снижению цены всей системы.) Таким образом, фирма 1 пользуется всеми выгодами, связанными с ростом спроса. В случае совместимости существуют две системы, включающие X1 (X1Y1 и Х1Y2), поэтому часть выгод от возросшего спроса достается и фирме 2. Эта неинтерна-лизация части прироста спроса ослабляет стимул фирмы 1 к снижению своей цены.* Таким образом, фирмы устанавливают цены на свои компоненты менее агрессивно, чем они делали бы это, если бы компоненты были связаны в несовместимую систему. Из этих двух эффектов следует, что фирмы имеют общий интерес в обеспечении совместимости.**

* Этот эффект заставляет вспомнить о наблюдении из главы 4 о том, что производители дополняющих продуктов склонны устанавливать слишком высокие с точки зрения отрасли цены. Несовместимость делает системы весьма хорошими заменителями, тогда как совместимость вносит некоторую дополняемость.

** Анализ благосостояния менее очевиден. В частности, общественное благосостояние в отношении потребителей, покупающих X1Y1 и X2Y2, при совместимости падает, поскольку они сталкиваются с более высокой ценой на свои системы и их выбор продуктов остается тем же, что и при несовместимости. Потребители, приобретающие X1Y2 и X2Y1, при совместимости покупают более подходящую систему, нежели при несовместимости, но также платят более высокую цену, и поэтому без дополнительных предположений анализ благосостояния оказывается неоднозначным.

Замечание. Стремление к совместимости следует из предположения, что фирмы приспосабливаются друг к другу (т. е. не пытаются вытеснить друг друга с рынка). С другой стороны, из предложенной Уинстоном версии теории средств воздействия (см. пример 8) мы знаем, что связывания могут служить барьером для входа. Аналогично доминирующая фирма, которая хочет стимулировать выход, вполне могла бы изъявить желание сделать свою продукцию несовместимой с продукцией соперника.* Несовместимость наносит сопернику ущерб в двух отношениях: она сокращает спрос и ведет к более агрессивной ценовой конкуренции. Поэтому она способна стимулировать выход. Таким образом, оптимальная стратегия фирмы (здесь – относительно решения о совместимости) вновь зависит от того, хочет ли она предоставить вход своим соперникам, сдержать его или стимулировать выход.**

* Считалось, что для обеспечения доминирования фирма IBM делает свои продукты несовместимыми с продуктами своих соперников.

** Обсуждение хищнических решений о несовместимости см. в [100].

8.5. Эпилог: цены в сравнении с количествами

Решающее предположение в интерпретации примеров 1-9 состоит в том, что цены являются стратегическими дополнителями, а количества – стратегическими заменителями
. Эта характеризация имеет особенно важное значение в играх с предоставлением входа, где фирмы, стремящиеся не выглядеть агрессивными в ходе ценовой конкуренции, могут предпринимать шаги, которые позже превратят их в «щенков», а фирмы, конкурирующие по количествам, могут постараться в будущем стать «вожаками». Поэтому неудивительно, что двухшаговые ценовые игры (соответственно, количественные игры) более тяготеют к тайному сговору (соответственно, к более острой конкуренции), нежели их статические (одношаговые) аналоги.* В ситуации сдерживания входа или стимулирования выхода стратегии ценовой и количественной игр обычно различаются в меньшей степени, чем в ситуации предоставления входа. В таком случае, как мы видели в разделе 8.3, важно выглядеть жестким. Например, сокращением затрат мы нанесем ущерб нашему сопернику независимо от того, какая идет конкуренция – ценовая или количественная. Ключевая идея здесь состоит в том, что, прежде чем применять упомянутую классификацию, мы должны рассмотреть микроструктуру отрасли и определить, какой тип конкуренции здесь ведется.

* Анализ Маркова с бесконечной продолжительностью, проведенный Мэскином и Тиролем [85, 87], также выделяет роль смешанных частных производных и предполагает, что эти результаты достаточно устойчивы. Здесь повторение дает исход тайного сговора в ценовой игре и более конкурентный исход, чем исход Курно в количественной игре.

Как показано в дальнейшем, характеризация цен и количеств как стратегических дополнителей и заменителей – это не общий закон, а всего лишь предположение.

Количества. Предположим, что функции прибыли имеют точную форму Курно (см. главу 5):

где Сi – функция затрат фирмы i. Простое вычисление дает смешанную частную производную:

.

Мы уже знаем, что Р' < 0. Для получения свойства стратегического заменителя достаточно, чтобы функция цены была линейна (Р" = 0) или вогнута (Р" < 0). Для достаточно выпуклых функций цены это свойство может не выполняться.*

* Бюлоу и соавторы [20], например, отмечают, что для P(q1 + q2) = (q1 + q2)-α, где 0 < q < 1, пропорциональна α – qj/qi. Таким образом, если в силу различий в затратах равновесие связано с крупной и малой фирмами (скажем, q\/qi очень велико), количества для одной фирмы являются стратегическими дополнителями, а для другой – стратегическими заменителями в окрестности точки равновесия. В частности, возрастание выпуска малой фирмы повышает оптимальную реакцию крупной фирмы на этот выпуск.

Цены. Пусть qi = Di (pi, pj) обозначают функции спроса. Функции прибыли есть

Пi(pi, pj) = piDi(pi, pj) – Ci(Di (pi, pj)).

Это дает смешанную частную производную:

Как и в случае с количествами, эта смешанная частная производная зависит от свойств функции спроса. Предположим, что спрос линеен (на соответствующем интервале),

Di (pi, pj) = a – bpi +dpj

и что предельные затраты постоянны. Если товары являются заменителями по спросу (d > 0), то > 0, поэтому товары оказываются стратегическими дополнителями. Если товары являются дополнителями по спросу (d < 0), они оказываются стратегическими заменителями. В общем случае, если мы предполагаем, что товары являются заменителями по спросу, и замечаем, что при равновесии рi – > 0 (по условию первого порядка для фирмы г), то достаточно неотрицательности д2Di/дpiдpj, чтобы товары оказались стратегическими дополнителями в окрестности ценового равновесия.*

* Нетрудно сконструировать примеры, в которых это свойство не выполняется. Более того, как отмечено в [87], товары в общем случае не являются стратегическими ценовыми дополнителями на всем интервале потенциальных цен. Чтобы понять, почему это так, предположим, что товары – довольно хорошие заменители по спросу. Зафиксируем pj, a pi пусть изменяется. При рi >> pj фирма j получает весь спрос и единичное изменение в ее цене незначительно влияет на спрос и прибыль фирмы i. (В пределе, при совершенных заменителях, спрос остается равным 0 и, следовательно, вовсе не подвергается влиянию.) Поэтому очень мало. Аналогично при pi << pj единичное изменение в цене pj не оказывает значительного влияния на спрос и прибыль фирмы i, причем очень мало. Когда рi близко к pj, единичное изменение в pj оказывает значительное влияние на спрос и прибыль фирмы i (представьте себе совершенные заменители); следовательно, велико. Таким образом, не может быть монотонно по рi. Теперь это не имело значения для наших приложений, поскольку ценовое равновесие на втором шаге в игре с одновременными ходами имело место в той области, где дDi/дpj велико и положительно. В более динамичных играх это может иметь некоторое значение. Например, в [86, 87] кривые реакции в количественной игре монотонны (нисходящие), а в ценовой игре немонотонны.

8.6. Дополнительный раздел: стратегическое поведение и барьеры на вход или мобильность

Этот раздел, включающий некоторые из последних исследований по барьерам на вход, служит двум целям. Во-первых, на техническом уровне он выходит за пределы несколько нереалистической двухшаговой модели, рассмотренной в разделах 8.2-8.4, чтобы проанализировать полное динамическое взаимодействие фирм. Во-вторых, и это, возможно, более важно, в нем детально изучаются два различных типа барьеров на вход. В подразделе 8.6.1 сравнивается краткосрочное и долгосрочное накопление капитала. (Анализ следует за [47, 48].) В подразделе 8.6.2 рассматриваются дифференцированные рынки; здесь показано, что фирма может стремиться опередить своих соперников, чтобы захватить выгодные рыночные ниши, и что фирма может использовать количественный рост продукта, чтобы ограничить вход.*

* Читатели, которые не знакомы с динамическими играми, могут в первом чтении пропустить подраздел 8.6.1. Технически он сложнее, нежели остальная часть раздела 8.6.

8.6.1. Накопление капитала

Ценность обязательства по накоплению капитала тем выше, чем длительнее его жизненный цикл и чем дороже обходится его реализация или перепродажа. Таким образом, степень поглощения капитала определяет монопольную власть и прибыль, которыми пользуются закрепившиеся фирмы. Здесь мы рассмотрим два крайних случая: случай, когда инвестиции поглощаются только в весьма коротком периоде, и случай, когда капитал не может быть перепродан и не обесценивается (т. е. поглощается полностью).

8.6.1.1. Краткосрочное накопление капитала и состязательность

В этом подразделе исследуются две взаимосвязанные модели естественной монополии, которые опираются на инвестиции. В этих моделях на рынке есть место лишь для одной фирмы и в состоянии равновесия фактически находится единственная фирма. Эта фирма получает прибыль и посредством накопления капитала сдерживает вход. Капитал поглощается лишь в коротком периоде и должен периодически обновляться. Промежуток времени, в течение которого капитал оказывается поглощенным, определяет срок действия обязательства. В случае краткосрочного обязательства закрепившаяся фирма пользуется лишь небольшими преимуществами перед потенциальными новичками (поскольку новичок может быстро вытолкнуть ее с рынка). Таким образом, чтобы сдержать вход, она должна накопить капитал. В пределе, при очень краткосрочных обязательствах, закрепившаяся фирма почти не получает прибыли, поэтому для очень краткосрочных обязательств выполняется постулат Познера о растрачивании ренты (который гласит, что монопольная прибыль растрачивается посредством конкуренции, здесь – потенциальной конкуренции). Познеровский постулат расточительности (согласно которому прибыли растрачиваются общественно расточительным образом) может или не может иметь силу в зависимости от того, является капитал закрепившейся фирмы избыточным или содействует производству.

Расточительная трата ренты

Первая теория краткосрочных обязательств, разработанная Итоном и Липси [33], рассматривает отрасль с двумя фирмами. Время непрерывно, а продолжительность бесконечна. Одна единица капитала (например, завод) необходима для производства и обеспечивает доступ к неизменным предельным затратам с. Вторая единица капитала бесполезна в том смысле, что она не снижает предельных затрат производства. Одна единица капитала стоит f в единицу времени и обладает детерминированным сроком службы Н (после установки единица капитала в течение Н единиц времени не подвергается физическому износу, а затем обесценивается полностью).* Постоянные затраты производства (равные, где i – ставка процента) оплачиваются во время установки этой единицы, поэтому, пока не прошли H единиц времени, фирма не может, покинув рынок, избежать оплаты постоянных затрат. По этой причине, если срок службы оборудования τ < Н, фирма не имеет стимула покинуть рынок, даже если войдет еще одна фирма. Таким образом, Н есть мера обязательства.

* Этот тип обесценивания называют «пролетка» («one-horse shay»).

Если в момент t действует лишь одна фирма (т. е. она имеет хотя бы одну единицу капитала), текущая прибыль фирмы, включая капитальные затраты, составит

Предположим, что f < < 2f. Монополия осуществима, поскольку > f. Если действуют две фирмы (т. е. каждая имеет по меньшей мере одну единицу капитала), они ведут конкуренцию по Бертрану при предельных затратах с и получают нулевую валовую прибыль; таким образом, каждая фирма в единицу времени теряет f. Предположение Бертрана предназначено для упрощения вычислений. В общем случае фирмы могли бы получать положительную валовую дуопольную прибыль; предположение < 2f попрежнему гарантировало бы строго отрицательную чистую прибыль, по крайней мере, для одной из них, поскольку валовая монопольная прибыль является верхней границей валовой прибыли отрасли при дуополии.

Единственное решение фирм заключается в определении времени установки единиц капитала. Одна фирма осуществляет инвестицию в момент 0 (представим, например, технологическое преимущество, которое позволяет фирме первой войти). В остальном стратегии, построенные Итоном и Липси, симметричны. Они также оказываются марковскими в том смысле, что зависят лишь от текущего состояния, соответствующего платежу (здесь – от структуры капитала обеих фирм, т. е. количества и срока службы их производственных установок). Закрепившаяся фирма (фирма с капиталом) всегда покупает вторую единицу капитала за Δ(<H/2) лет до обесценения ее существующей единицы. Если закрепившаяся фирма имеет только одну единицу и срок службы ее превышает H – Δ лет, то другая фирма инвестирует в единицу капитала. При равновесии длительность Д выбирается таким образом, чтобы при сроке службы единицы капитала закрепившейся фирмы H – Δ лет потенциальному нотачку было безразлично, входить или нет. Если новичок не входит, то закрепившаяся фирма навсегда остается монополией, а новичок не получит никакой прибыли. Если он входит, то в течение Д лет он получает прибыль –f (поскольку закрепившаяся фирма все еще несет обязательства по капиталу: постоянные затраты на его существующую единицу являются поглощенными) и все оставшееся время получает монопольную прибыль. Инвестиционная траектория закрепившейся фирмы представлена на рис. 8.15. На равновесной траектории закрепившаяся фирма всегда обновляет свой капитал, прежде чем он обесценится. Потенциальный новичок никогда не входит; он удерживается за пределами рынка обязательством закрепившейся фирмы оставаться на рынке в течение по меньшей мере Δ лет после входа (что причиняет новичку краткосрочные убытки).

Рис. 8.15. Равновесная инвестиционная стратегия закрепившейся фирмы.

Вычислим теперь Δ. При равновесии настоящая дисконтированная
прибыль закрепившейся фирмы, считая от момента 0 (или от любого момента, когда она покупает новую единицу капитала), составляет

Первое слагаемое всегда представляет текущую монопольную прибыль. Второе – это затраты на единицу капитала, повторяемые в моменты 0, H – Δ, 2(H – Δ),... ,п(Н – Δ)... Несколько простых математических выкладок дают

(8.1)

Теперь предположим, что потенциальный новичок хочет войти. Очевидно, нет смысла входить точно перед тем, как закрепившаяся фирма купит вторую единицу капитала (поскольку поток чистых прибылей в дуополии отрицателен). Поэтому новичок подождет и опередит закрепившуюся фирму как раз перед тем, как она купит свою вторую единицу (т. е. когда срок службы существующей единицы закрепившейся фирмы составит H – Δ лет). Если новичок поступит именно так, то закрепившаяся фирма не станет покупать себе вторую единицу капитала, но, перед тем как покинуть рынок, будет в течение Δ единиц времени оставаться со своей старой единицей. Следовательно, прибыль новичка, считая от момента входа, будет равняться V минус монопольная прибыль, потерянная за Δ первых лет существования новичка (т. е. единственное отличие между закрепившейся фирмой в момент 0 и осуществившим захват новичком состоит в том, что новичок окажется в ситуации дуополии в течение Δ единиц времени):

Поскольку вторая единица капитала является дорогостоящей и бесполезной для производственных целей, закрепившаяся фирма выбирает настолько малую Д, насколько это совместимо со сдерживанием входа:

(8.2)

или, подставляя V,

(8.3)

При наших предположениях из уравнения (8.3) следует, что Δ < H/2.

Нас особенно интересует, что происходит в случаях очень краткосрочных обязательств. Пусть H (а значит, и Δ) стремится к нулю. Применяя к уравнению (8.3) тейлоровские аппроксимации первого порядка, мы получаем

Таким образом,

(8-4)

Это означает, что Δ(H – Δ) @ (– f)/f процентов времени закрепившаяся фирма владеет двумя единицами капитала. Возможно, более интересным является то, что уравнение (8.2) дает

V @

Таким образом, даже если при равновесии в отрасли существует всего одна фирма, эта фирма не получает прибыли. Монопольная рента целиком тратится на накопление второй единицы капитала. Это естественно. Если бы ценность V положения монополиста была велика, новичок вошел бы, потерял деньги за очень короткий промежуток времени (поскольку H мало, а значит, и Δ мало) и присвоил бы V. Следовательно, при краткосрочных обязательствах потенциальная конкуренция сводит прибыль монополиста к нулю.

Даже при краткосрочных обязательствах мы не получаем исхода состязательности. В действительности мы получаем именно постулат Познера о расточительной растрате ренты: монополист устанавливает монопольную цену и тем не менее не получает прибыли. Общий ущерб для благосостояния за единицу времени равняется потерям излишка потребителя (см. треугольник на рисунке 1.2) плюс чистая монопольная прибыль (– f) (см. главу 1). Удивляться этому не следует; единственным средством растрачивания ренты в этой модели является избыточный капитал, который, по определению, не имеет общественной ценности. Это приводит нас ко второй модели, в которой растрачивание ренты является общественно полезным.

Состязательность

Наша вторая модель разработана Мэскином и Тиролем [86]. Хотя она и близка по духу первой модели, в некоторых отношениях их формулировки различаются. Время дискретно, продолжительность бесконечна. Есть две фирмы, которые конкурируют по мощностям. Сразу после выбора мощность фиксируется на два периода. Пусть (Ki, Kj) обозначает попериодную прибыль фирмы с мощностью Ki, когда соперник имеет мощность Kj (включая постоянные попериодные затраты). Как обычно, П убывает с Kj, а смешанная частная производная д2[/дK1дK2 отрицательна (мощности являются стратегическими заменителями). Длительность периода – Т, а коэффициент дисконтирования между периодами δ = е-rT.

Фирмы выбирают свои мощности последовательно. (Эта модель фактически эквивалентна модели с непрерывным временем, где фирмы выбирают мощности К, которые, как и в работе Итона и Липси [33], обесцениваются по типу «пролетки», но в соответствии с пуассоновским процессом, т. е. Я сто-хастично.*) Фирма 1 выбирает мощности в нечетные периоды, а фирма 2 – в четные.** Фирма выбирает мощность на два производственных периода и в первый из них поглощает постоянные затраты: f(1 + δ) при мощности К > 0 и нуль при К = 0. Пусть

где с – предельные затраты производства, c0 – предельные затраты на установку мощности. Предположим, как и раньше, что f < < 2f. Значит, жизнеспособна одна фирма, но не две. Требуется, чтобы стратегии были марковскими (т. е. необходимыми для выигрыша); это означает, что фирма i реагирует на мощность Kj, выбранную соперником в последнем периоде, и, выбирая мощность K i – = R i (Kj) на текущий период, все еще остается на своем месте.***

* Рассмотрим модель с непрерывным временем и ставкой процента r. Пусть Пi(K 1,K 2) – поток валовой прибыли фирмы i в единицу времени. Когда фирма выбирает мощность, ее период обязательств по капиталу стохастичен. Вероятность того, что срок действия обязательств истекает в интервале между моментами t и t + Δt, не зависит от времени и равна λΔ t. Эту технологию можно рассматривать как неопределенный срок службы (независимость обесценения от времени, очевидно, является крайним допущением). Пусть Vi(Kj) (соответственно Wi(Ki)) обозначает настоящую дисконтированную ценность прибыли фирмы i, когда она обновляет свой капитал и реагирует на существующий капитал Kj фирмы j (соответственно, когда фирма j обновляет свой капитал и реагирует на существующий уровень капитала K i фирмы г). Из динамического программирования имеем

что дает

Таким образом, модель с непрерывным временем эквивалентна модели с последовательными ходами, дискретным временем, функцией валовой прибыли

и коэффициентом дисконтирования

Уравнения динамического программирования в контексте дискретного времени см. в следующем подразделе.

** Если придать выбору времени эндогенный характер, позволив фирмам выбирать свои мощности, когда им заблагорассудится, с учетом ограничения, что сразу после выбора мощность фиксируется на два периода, симметричное равновесие оказывается точно таким же, как описано ниже. (Другой способ «эндогенизации» выбора времени от:сан в прим. 74.)

*** Другими словами, стратегии не зависят от истории игры, которая не имеет отношения к выигрышам.

Как и в статье Итона и Липси, существует единственное симметричное равновесие. При достаточно большой δ оно принимает следующую форму, проиллюстрированную на рис. 8.16. При равновесии действует только одна фирма с уровнем мощностей К*; фирма предпочитает входить тогда и только тогда, когда мощность ее соперника ниже сдерживающего вход уровня К*; если она входит, то сама накапливает мощность К*. При равновесии К* таково, что новой фирме безразлично, входить или нет:

. (8.6)

Это уравнение отражает тот факт, что при входе новичок получает (K*, К*) –f < 0 (вспомним, что 2(К, К) ≤ < 2f при всех К). В следующий период закрепившаяся фирма выходит и новичок становится монополистом, который сдерживает вход, навсегда выбирая К*. Тогда будущие прибыли новичка имеют вид:

Закрепившаяся фирма выбирает свою мощность лишь для того, чтобы сдерживать вход; накопление мощностей, превышающих К*, является дорогостоящим, поскольку, как мы скоро увидим, К* уже превышает монопольную мощность Кт.

Рис. 8.16.

В результате мы имеем следующее. Равновесие связано с единственной фирмой, действующей при уровне мощности К*.* Эта фирма участвует в своего рода ограничивающем ценообразовании. Она накапливает большую мощность, нежели монополист, не стоящий перед угрозой входа. Поэтому она назначает цену ниже монопольной цены (см. ниже).

* И в модели Итона–Липси, и в модели Мэскина–Тироля при достаточно краткосрочных обязательствах существуют два асимметричных, абсолютных равновесия по Маркову. При таких равновесиях одна из фирм в устойчивом состоянии обладает неограниченной монопольной властью (т. е. в первой модели на начальном этапе она не обновляет свой капитал, а во второй она накапливает Кт). Эта фирма никогда не покидает рынок и реагирует на вход предположением, что новичок выйдет сразу по истечении срока действия его обязательства. Такое агрессивное поведение является самодостаточным и в конце концов сдерживающим вход.

Теперь мы исследуем случай краткосрочных обязательств (где Т стремится к 0, т. е. δ стремится к 1). Из уравнения (8.6) видно, что при δ, стремящемся к 1, величина (K*,0) – f стремится к 0. Это означает, что прибыль монополиста сходится к 0. (В частности, отметим, что К* превышает Кт.) Интуитивное представление для этого результата растраты ренты то же, что и прежде. Закрепившаяся фирма использует важное преимущество укорененности только тогда, когда она может причинять новичку дуопольные убытки достаточно продолжительное время. Новичка привлекает перспектива стать монополистом только после короткой борьбы, поэтому в целях сдерживания входа закрепившаяся фирма должна повышать свою мощность.

Важное отличие от предыдущей модели состоит в том, что растрачивание ренты не всегда бывает расточительным. Действительно, если используется мощность К* закрепившейся фирмы (поэтому объем выпуска q равен К*), то растрачивание общественно полезно. Растрачивание ренты осуществляется через снижение цен, а не через избыточную мощность. В пределе исход совпадает с прогнозом школы состязательности (см. раздел 8.1). Использует ли монополист все свои мощности К* – это вопрос эмпирический. Как и в главе 5, установленные мощности К* используются в том случае, если предельные инвестиционные затраты c0 достаточно велики по сравнению с предельными затратами производства с.

При меньших значениях коэффициента дисконтирования вход блокируется. Это означает, что закрепившаяся фирма сдерживает вход посредством накопления монопольных мощностей.

Отсутствие постоянных затрат: динамика конкуренции Курно

В двух предыдущих подразделах мы предполагали существование значительных постоянных затрат, которые делали отрасль естественной монополией. Закрепившаяся фирма переинвестировала, чтобы сдерживать вход. В отсутствие постоянных затрат (или при низких постоянных затратах) находится место и для двух фирм. Вместо того чтобы сдерживать вход, фирмы предоставляют место друг другу. Этот подраздел анализирует предоставление входа в отрасль с краткосрочными обязательствами и представляет аргументы в пользу того, что некоторые из принципов, регулирующих предоставление входа при количественной конкуренции в двухшаговых моделях (см. разделы 8.3 и 8.4), переносятся на развернутые динамические игры.

Рассмотрим модель конкуренции по мощностям с последовательными ходами из предыдущего раздела, но предположим, что фирмы не несут постоянных затрат (f = 0). (Здесь анализ следует анализу, представленному в работе [85], и основывается на более ранней модели [25].)

Фирма 1 выбирает мощности (которые фиксируются на два шага и могут быть свободно заменены по их истечении) на нечетных шагах, а фирма 2 – на четных. Межвременная прибыль фирмы i в момент t равна

Как и прежде, мы делаем обычные предположения о функции прибыли: < 0, < 0, < 0. Мы ищем пару динамических функций реакции R1 (·) и R2(·), которые образуют абсолютное равновесие по Маркову. Таким образом, если К2 – существующая (зафиксированная) мощность фирмы 2, то фирма 1 реагирует, выбирая мощность К1 = R1 (K2) с целью максимизировать свою настоящую дисконтированную прибыль при условии, что затем обе фирмы будут действовать в соответствии с R1 и R2. Пусть Vi(Kj), как и в разделе 6.7, обозначает настоящую дисконтированную прибыль фирмы i, когда она реагирует на мощности своего соперника Kj, a Wi(Ki) – настоящую дисконтированную прибыль фирмы i, когда она зафиксирована в пределах Ki и соперник реагирует. Условия равновесия имеют следующий вид:

(8.7)

Ri (K2) максимизирует (8.8)

(8.9)

и аналогично для фирмы 2.

Первое общее со случаем традиционного анализа свойство состоит в том, что, поскольку мощности являются стратегическими заменителями ( < 0), кривые реакции имеют наклон вниз. Чтобы показать это, достаточно выписать условие оптимальности для функций реакции (такой же метод применяется для доказательства монотонности совместимых по стимулам распределений в задачах стимулирования). Рассмотрим два уровня мощностей – К2 и. Пусть R1(K2) и R1() обозначают оптимальные реакции на К2 и. По определению, R1(K2) – лучший ответ на К2, чем R1():

П1(R1(K 2),K 2) + δW1(R1(K 2)) ≥ П1(R1(),K 2) + δW1(R1(

Точно так же R1() – лучший ответ на :

П1(R1(),) + δW1(R1()) ≥ П1(R1 (K 2),) + δW1(R1(K2

Суммируя уравнения (8.10) и (8.11), получаем

П1(R1(K 2),K 2) – П1(R1(),K 2) + П1(R1(),)–П1(R1 (K 2),) ≥

что эквивалентно

(8.13)

Но, по предположению, < 0. Таким образом, из уравнения (8.13) следует, что R1(K 2) ≤ R1(), если K 2 < . Кривые реакции обязательно имеют наклон вниз.

Чтобы найти равновесные функции реакции, мы должны решить систему уравнений (8.7)-(8.9).* Для квадратичных функций прибыли, таких как

П1=Ki(d – Ki –Kj),

существует весьма простое решение. Кривая реакции каждой фирмы линейна по мощности ее соперника: R1 = R 2 = R, где R(K) = а – bК. Это решение также имеет замечательное свойство, состоящее в том, что оно является пределом функций реакции каждой фирмы в любой момент, если продолжительность конечна, но стремится к бесконечности.**

* Чтобы найти дифференцируемое решение (если такое решение существует), мы можем продифференцировать уравнение (8.9) и выписать для уравнения (8.7) условие первого порядка. После некоторых подстановок мы получим систему разностно-диф-ференциальных уравнений для двух функций реакции. В общем случае эту систему решить трудно, но в случае квадратичных функций прибыли она решается легко.

** Решение с конечной продолжительностью слишком сложно для получения результата в явном виде. Правда, Сиерт и Де Гроот [25] вычислили его численным методом. Чтобы показать сходимость к линейному, абсолютному равновесию по Маркову с бесконечной продолжительностью, они показывают, что решение с конечной продолжительностью принадлежит к классу линейных функций реакции с наклоном от – 1/2 до 0 и точками пересечения в интервале от 0 до d, что это получается обратной индукцией с использованием сжимающего отображения в пространстве таких функций и что неподвижная точка этого сжимающего отображения (которая является пределом функции реакции для больших продолжительностей) удовлетворяет разностно-дифференциальным уравнениям для (R1,R2), полученным из уравнения (8.7) с использованием уравнения (8.9).

Динамика этой игры иллюстрируется на рис. 8.17. Сплошные линии изображают динамические функции реакции для δ в интервале (0,1), прерывистые линии представляют статические функции реакции по Курно и, Е обозначает распределение устойчивых состояний, а С – исход Курно.

Рис. 8.17.

При δ = 0 фирмы действуют недальновидно. Они реагируют в соответствии со статической функцией реакции

которая максимизирует (d – К – ). Таким образом, а = d/2, b = 1/2. В таком случае динамика отрасли носит название процесса нащупывания (tdtonnement). Устойчивым состоянием является С – распределение Курно. При δ > 0 каждая фирма принимает в расчет не только свою текущую прибыль, но также и будущую реакцию соперника. Поскольку кривые реакции имеют наклон вниз, на интуитивном уровне это означает, что фирма должна инвестировать больше, чем это в ее краткосрочных интересах, с тем чтобы побудить соперника сократить свои мощности (как и в игре Штакельберга из раздела 8.2). Действительно, можно показать, что при возрастании δ устойчивый симметричный уровень мощности задается К = а – bК или К = а/(1 + b), возрастает и, таким образом, удаляется от уровня Курно. Этот процесс динамически устойчив – при любом исходном уровне мощности обеих фирм сходятся к устойчивым мощностям. Это обобщает процесс нащупывания по Курно в том смысле, что каждая из фирм рационально предвосхищает влияние своего выбора мощностей на поведение соперника.

Суть этой простой модели с бесконечной продолжительностью состоит в переносе интуитивных представлений, полученных в двухшаговых моделях: стратегические заменители дают нисходящие кривые реакции, поэтому каждая фирма переинвестирует из стратегических соображений. Исход можно рассматривать как симметричное лидерство по Штакельбергу.

8.6.1.2. Игры с накоплением капитала в длительном периоде

В другом полярном случае инвестиция создает долгосрочное обязательство по пребыванию на рынке. В частности, мы предполагаем, что с момента осуществления инвестиция не обесценивается и не может быть перепродана. Иначе говоря, она необратима. Следующая модель была построена Спенсом [123]. Представленная здесь версия заимствована из работы [44] .

Рассмотрим дуополию с фирмами, обозначенными как i = 1,2. Время непрерывно, продолжительность бесконечна. В любой момент t текущая прибыль фирмы i включая инвестиционные расходы, имеет вид:

где Ki (t) – запас капитала фирмы i в момент t (как обычно, < 0. < 0 и < 0).

Капитал в момент t равен общему объему инвестиций, накопленных до настоящего времени:

где Ii(t) – норма инвестирования. Предполагается, что инвестиционные затраты линейны. Одна инвестиционная единица стоит 1 дол. Во избежание мгновенного инвестирования в момент 0 мы ограничим сверху инвестирование каждой фирмы величиной. Эта технология служит примером выпуклых инвестиционных затрат. Инвестиции должны быть неотрицательны, и нет обесценения. Таким образом, запасы капитала являются неубывающими. Чистая прибыль фирмы i в момент t составллет

Стратегию фирмы i представляет инвестиционная траектория {Ii(t)}, удовлетворяющая условию 0 ≤ Ii(t) ≤ . Инвестирование каждой фирмы в момент t зависит от текущих запасов капитала (K1(t),K2(t)) (кроме того, мы предполагаем, что тип стратегий – марковский в том смысле, что они зависят только от определяющего выигрыш состояния игры и не зависят от всей ее предыстории). Обе фирмы входят на рынок в момент t = 0 без капитала.

Целевая функция фирмы i равна ее настоящей дисконтированной прибыли:

В этом подразделе мы рассмотрим только предельную игру, в которой обе фирмы бесконечно терпимы (т. е. i стремится к 0). В этом случае фирмы максимизируют свои усредненные по времени выигрыши, чтобы имели значение лишь окончательно установившиеся уровни капитала (ни одна фирма не будет выбирать уровень инвестирования навсегда). Таким образом, целевой функцией фирмы i становится, где ss обозначает установившееся состояние. Это упрощение позволяет нам не учитывать частные инвестиционные затраты, сосредоточить внимание на их стратегическом аспекте и применить простой графический подход.*

* Анализ случая с дисконтированием см. в [44, 99].

Вначале проанализируем равновесия с «предварительными обязательствами», или программные равновесия.* При равновесии с предварительными обязательствами фирмы одновременно берут на себя обязательства по направлениям инвестирования на все время. Таким образом, равновесия с предварительными обязательствами являются действительно статическими в том отношении, что для каждой фирмы существует только одна точка принятия решения. Равновесия с предварительными обязательствами такие же, как равновесия типа Нэша – Курно, но с большим пространством стратегий. В игре с мощностями равновесия с предварительными обязательствами точно такие, как если бы фирмы изначально создали полностью свои запасы капитала (так как здесь нет дисконтирования). При результирующем равновесии по Курно каждая фирма инвестирует до того момента, пока предельная производительность капитала не станет равной нулю при установившемся уровне капитала соперника. Все множество различных путей, которые ведут к этому установившемуся состоянию, составляют равновесия с предварительными обязательствами. Например, стратегия каждой фирмы могла бы состоять в максимально быстром инвестировании в соответствии со своим уровнем Курно. Мы можем подчеркнуть сходство этого решения с равновесием по Курно, определив кривые реакции при установившемся состоянии, которые обеспечивают каждой фирме искомый установившийся уровень капитала в зависимости от установившегося уровня капитала соперника. В соответствии с нашими предположениями эти кривые реакции выглядят так же, как и обычные «правильные» кривые Курно. На рис. 8.18 показаны кривые реакции R1 и R2, где IGP – траектория роста инвестиций (траектория, на которой обе фирмы инвестируют с максимальной быстротой). Равновесие с предварительным обязательством («программное») находится в С = (C1,C2) – точке пересечения этих двух кривых. Мы видели, что применение концепции предварительных обязательств трансформирует явно динамическую модель в статическую. Не рекомедуется применять эту трансформацию в качестве моделирующей стратегии: «...не следует допускать предварительных обязательств, чтобы войти „с черного хода"... При возможности его необходимо моделировать в явном виде... как формальный выбор в игре» [75].